„Deriválás - Hiperbolikus függvények” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(→‎Megoldás)
14. sor: 14. sor:
 
<wlatex>#: a) A hiperbolikus függvények definícióját behelyettesítve az állítás könnyedén igazolható.
 
<wlatex>#: a) A hiperbolikus függvények definícióját behelyettesítve az állítás könnyedén igazolható.
 
#: b) $$\frac{d}{dx}\mbox{ch}\,x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\mbox{sh}\,x\qquad\qquad \frac{d}{dx}\mbox{sh}\,x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\mbox{ch}\,x$$$$\frac{d}{dx}\mbox{th}\,x=\frac{1}{\mbox{ch}^{2}\,x}\qquad\qquad \frac{d}{dx}\mbox{cth}\,x=-\frac{1}{\mbox{sh}^{2}\,x}$$
 
#: b) $$\frac{d}{dx}\mbox{ch}\,x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\mbox{sh}\,x\qquad\qquad \frac{d}{dx}\mbox{sh}\,x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\mbox{ch}\,x$$$$\frac{d}{dx}\mbox{th}\,x=\frac{1}{\mbox{ch}^{2}\,x}\qquad\qquad \frac{d}{dx}\mbox{cth}\,x=-\frac{1}{\mbox{sh}^{2}\,x}$$
−
#: c) A $\mbox{ch}\, x$ függvény inverzét $\mbox{arcch}\, x$-val jelöljük. $$\mbox{arcch}\,x=y(x)$$$$x=\mbox{ch}\, y$$$$x=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}$$$$e^{2y}-2xe^{y}+1=0$$$$e^{y}=x\pm \sqrt{x^{2}-1}$$ A két megoldás közül az egyik $y$-nak, a másik pedig $-y$-nak felel meg. Konvencionálisan a $+$ előjelet tekintjük az $\mbox{arcch}\,x$ függvényben. $$e^{y}=x+ \sqrt{x^{2}-1}$$$$y=\ln\left(x+ \sqrt{x^{2}-1}\right)$$$$\mbox{arcch}\,x=\ln\left(x+ \sqrt{x^{2}-1}\right)$$ A deriváltja $$\frac{d}{dx}\mbox{arcch}\,x=\frac{1}{\mbox{sh}(\mbox{arcch}\,x)}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,.$$</wlatex>
+
#: c) A $\mbox{ch}\, x$ függvény inverzét $\mbox{arch}\, x$-val jelöljük. $$\mbox{arch}\,x=y(x)$$$$x=\mbox{ch}\, y$$$$x=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}$$$$e^{2y}-2xe^{y}+1=0$$$$e^{y}=x\pm \sqrt{x^{2}-1}$$ A két megoldás közül az egyik $y$-nak, a másik pedig $-y$-nak felel meg. Konvencionálisan a $+$ előjelet tekintjük az $\mbox{arch}\,x$ függvényben. $$e^{y}=x+ \sqrt{x^{2}-1}$$$$y=\ln\left(x+ \sqrt{x^{2}-1}\right)$$$$\mbox{arch}\,x=\ln\left(x+ \sqrt{x^{2}-1}\right)$$ A deriváltja $$\frac{d}{dx}\mbox{arch}\,x=\frac{1}{\mbox{sh}(\mbox{arch}\,x)}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,.$$</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap 2013. szeptember 11., 09:33-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Deriválás
Feladatok listája:
  1. Alapműveletek vektorokkal
  2. Vektorok felbontása
  3. Egyszerű deriváltak
  4. Inverz függvény deriváltja
  5. Hiperbolikus függvények
  6. Szélsőértékek
  7. Egyvátozós vektorfüggvény
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. A hiperbolikus függvényeket a következőképpen definiáljuk.
    \[\mbox{ch}\,x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\qquad\qquad \mbox{sh}\,x= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\]
    \[ \mbox{th}\,x=\frac{\mbox{sh}\, x}{\mbox{ch}\, x}\qquad\qquad \mbox{cth}\,x=\frac{\mbox{ch}\,x}{\mbox{sh}\,x}\]
    a) Igazoljuk, hogy \setbox0\hbox{$\mbox{ch}^{2}\,x-\mbox{sh}^{2}\,x=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%!
    b) Számoljuk ki a hiperbolikus függvények deriváltjait!
    c) Határozzuk meg a \setbox0\hbox{$\mbox{ch}\, x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény inverzét és annak deriváltját.

Megoldás

  1. a) A hiperbolikus függvények definícióját behelyettesítve az állítás könnyedén igazolható.
    b)
    \[\frac{d}{dx}\mbox{ch}\,x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\mbox{sh}\,x\qquad\qquad \frac{d}{dx}\mbox{sh}\,x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\mbox{ch}\,x\]
    \[\frac{d}{dx}\mbox{th}\,x=\frac{1}{\mbox{ch}^{2}\,x}\qquad\qquad \frac{d}{dx}\mbox{cth}\,x=-\frac{1}{\mbox{sh}^{2}\,x}\]
    c) A \setbox0\hbox{$\mbox{ch}\, x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény inverzét \setbox0\hbox{$\mbox{arch}\, x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-val jelöljük.
    \[\mbox{arch}\,x=y(x)\]
    \[x=\mbox{ch}\, y\]
    \[x=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\]
    \[e^{2y}-2xe^{y}+1=0\]
    \[e^{y}=x\pm \sqrt{x^{2}-1}\]
    A két megoldás közül az egyik \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nak, a másik pedig \setbox0\hbox{$-y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nak felel meg. Konvencionálisan a \setbox0\hbox{$+$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% előjelet tekintjük az \setbox0\hbox{$\mbox{arch}\,x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényben.
    \[e^{y}=x+ \sqrt{x^{2}-1}\]
    \[y=\ln\left(x+ \sqrt{x^{2}-1}\right)\]
    \[\mbox{arch}\,x=\ln\left(x+ \sqrt{x^{2}-1}\right)\]
    A deriváltja
    \[\frac{d}{dx}\mbox{arch}\,x=\frac{1}{\mbox{sh}(\mbox{arch}\,x)}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,.\]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Deriválás_-_Hiperbolikus_függvények&oldid=12074”