„Deriválás - Szélsőértékek” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Eltávolította a lap teljes tartalmát)
1. sor: 1. sor:
−
 
+
<noinclude>
 +
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
 +
[[Kategória:Szerkesztő: Werner]]
 +
{{Kísérleti fizika gyakorlat
 +
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
 +
| témakör    = Deriválás
 +
}}
 +
== Feladat ==
 +
</noinclude><wlatex>
 +
# Tekintsük az alábbi, valós számokon értelmezett függvényt:
 +
#: $$f(x) = 2 x^3 - 3 x^2 - 36 x + 12$$
 +
#: Hol vannak a függvény lokalás szélsőértékei, és azok milyenek?</wlatex><includeonly></includeonly><noinclude>
 +
== Megoldás ==
 +
<wlatex>#: a) $$ 3\mathbf{v}_{1}-2\mathbf{v}_{2}= 3 \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right]-
 +
2 \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right]-
 +
\left[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right]$$
 +
#: b) $$|\mathbf{v}_{1}|^{2}=1^{2}+2^{2}+(-1)^{2}=6\qquad\Rightarrow\qquad |\mathbf{v}_{1}|=\sqrt{6}$$$$|\mathbf{v}_{2}|^{2}=0^{2}+1^{2}+1^{2}=2\qquad\Rightarrow\qquad |\mathbf{v}_{2}|=\sqrt{2}$$
 +
#: c) Bármely két vektor esetén $$\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}=|\mathbf{v}_{1}||\mathbf{v}_{2}|\cos\alpha\,,$$ ahol $\cdot$ a vektorok skaláris szorzását jelöli és $\alpha$ a két vektor által bezárt szög. Ebben a feladatban $$\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}=1\cdot 0+ 2\cdot 1+ -1\cdot 1=1\,,$$ tehát $$1=\sqrt{6}\sqrt{2}\cos\alpha\qquad\Rightarrow\qquad \alpha=73,2\,^{\circ}$$
 +
#: d) A $\mathbf{v}_{2}$ vektor irányába mutató egység vektor $$\mathbf{n}_{2}=\frac{\mathbf{v}_{2}}{|\mathbf{v}_{2}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]\,.$$ Ezzel az egységvektorral a $\mathbf{v}_{1}$ vektor $\mathbf{n}_{2}$ irányába mutató komponense $$\mathbf{v}_{12}=\mathbf{n}_{2}(\mathbf{n}_{2}\cdot\mathbf{v}_{1})=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]\,.$$</wlatex></noinclude>

A lap 2014. szeptember 9., 11:37-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Deriválás
Feladatok listája:
  1. Alapműveletek vektorokkal
  2. Vektorok felbontása
  3. Egyszerű deriváltak
  4. Inverz függvény deriváltja
  5. Hiperbolikus függvények
  6. Szélsőértékek
  7. Egyvátozós vektorfüggvény
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat


  1. Tekintsük az alábbi, valós számokon értelmezett függvényt:
    \[f(x) = 2 x^3 - 3 x^2 - 36 x + 12\]
    Hol vannak a függvény lokalás szélsőértékei, és azok milyenek?

Megoldás

  1. a)
    \[ 3\mathbf{v}_{1}-2\mathbf{v}_{2}= 3 \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right]- 2 \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right]- \left[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right]\]
    b)
    \[|\mathbf{v}_{1}|^{2}=1^{2}+2^{2}+(-1)^{2}=6\qquad\Rightarrow\qquad |\mathbf{v}_{1}|=\sqrt{6}\]
    \[|\mathbf{v}_{2}|^{2}=0^{2}+1^{2}+1^{2}=2\qquad\Rightarrow\qquad |\mathbf{v}_{2}|=\sqrt{2}\]
    c) Bármely két vektor esetén
    \[\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}=|\mathbf{v}_{1}||\mathbf{v}_{2}|\cos\alpha\,,\]
    ahol \setbox0\hbox{$\cdot$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a vektorok skaláris szorzását jelöli és \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a két vektor által bezárt szög. Ebben a feladatban
    \[\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}=1\cdot 0+ 2\cdot 1+ -1\cdot 1=1\,,\]
    tehát
    \[1=\sqrt{6}\sqrt{2}\cos\alpha\qquad\Rightarrow\qquad \alpha=73,2\,^{\circ}\]
    d) A \setbox0\hbox{$\mathbf{v}_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vektor irányába mutató egység vektor
    \[\mathbf{n}_{2}=\frac{\mathbf{v}_{2}}{|\mathbf{v}_{2}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]\,.\]
    Ezzel az egységvektorral a \setbox0\hbox{$\mathbf{v}_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vektor \setbox0\hbox{$\mathbf{n}_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányába mutató komponense
    \[\mathbf{v}_{12}=\mathbf{n}_{2}(\mathbf{n}_{2}\cdot\mathbf{v}_{1})=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]\,.\]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Deriválás_-_Szélsőértékek&oldid=14895”