„Mechanika - Medencefal terhelése” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő:Gombkötő Kategória:Mechanika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = …”) |
a (→Feladat) |
||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># (5.7.) Mekkora vízszintes irányú erőt fejt ki a $\rho_v$ sűrűségű folyadék egy medence függőleges, sík falára, ha a vízmagasság $h$, a fal hosszúsága pedig $L$? Milyen magasságban van az eredő erő támadáspontja?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Számoljuk ki az eredő erőt és forgatónyomatékot mélységtől függő nagyságú elemek integráljaként!}}{{Végeredmény|content=$$F_e=\rho_vgL\frac{h^2}2$$ $$\frac h3$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | + | </noinclude><wlatex># (*5.7.) Mekkora vízszintes irányú erőt fejt ki a $\rho_v$ sűrűségű folyadék egy medence függőleges, sík falára, ha a vízmagasság $h$, a fal hosszúsága pedig $L$? Milyen magasságban van az eredő erő támadáspontja?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Számoljuk ki az eredő erőt és forgatónyomatékot mélységtől függő nagyságú elemek integráljaként!}}{{Végeredmény|content=$$F_e=\rho_vgL\frac{h^2}2$$ $$\frac h3$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>Az eredő erőt a mélységtől függő hidrosztatiksai nyomás által a felületelemekre kifejtett erőelemek integrálásával kaphatjuk meg. Ugyanígy kapható egy eredő forgatónyomaték nyomatékelemek integrálásával, az eredő erő támadáspontját pedig abból kaphatjuk meg, hogy oda helyezve ezzel megegyező nyomatékot kell adnia. A hidrosztatikai nyomás függése a mélységtől $p(h)=\rho_vgh$, egy felületelem mérete $dA=\rm d L\cdot \rm d h$, így egy $h$ mélységben található darabkára ható erőelem $\text{d}F(h)=\rho_vgh\text{d}h\text{d}L$, ebből az eredő erő $$F_e=\int_0^L\int_0^h\rho_vg\tilde h\text{d}\tilde h\text{d}L=\rho_vgL\frac{h^2}2$$ Az eredő nyomaték $$M_e=\int_0^L\int_0^h\text{d}M(h)=\int_0^L\int_0^h\text{d}F(h)h=\int_0^L\int_0^h\rho_vg\tilde h^2\text{d}\tilde h\text{d}L=\rho_vgL\frac{h^3}3=F_ed,$$ ahol $d$ a keresett támadáspont. Behelyettesítve az eredő erőt egyszerűsítés után kapjuk: $\frac d2=\frac h3$, melyből $d=\frac23h$ a támadáspont mélysége a vízszinttől (amely magasságtól számítva írtuk fel a nyomatékokat), ez a medence aljától $$\frac h3$$ magasságot jelent.</wlatex> | <wlatex>Az eredő erőt a mélységtől függő hidrosztatiksai nyomás által a felületelemekre kifejtett erőelemek integrálásával kaphatjuk meg. Ugyanígy kapható egy eredő forgatónyomaték nyomatékelemek integrálásával, az eredő erő támadáspontját pedig abból kaphatjuk meg, hogy oda helyezve ezzel megegyező nyomatékot kell adnia. A hidrosztatikai nyomás függése a mélységtől $p(h)=\rho_vgh$, egy felületelem mérete $dA=\rm d L\cdot \rm d h$, így egy $h$ mélységben található darabkára ható erőelem $\text{d}F(h)=\rho_vgh\text{d}h\text{d}L$, ebből az eredő erő $$F_e=\int_0^L\int_0^h\rho_vg\tilde h\text{d}\tilde h\text{d}L=\rho_vgL\frac{h^2}2$$ Az eredő nyomaték $$M_e=\int_0^L\int_0^h\text{d}M(h)=\int_0^L\int_0^h\text{d}F(h)h=\int_0^L\int_0^h\rho_vg\tilde h^2\text{d}\tilde h\text{d}L=\rho_vgL\frac{h^3}3=F_ed,$$ ahol $d$ a keresett támadáspont. Behelyettesítve az eredő erőt egyszerűsítés után kapjuk: $\frac d2=\frac h3$, melyből $d=\frac23h$ a támadáspont mélysége a vízszinttől (amely magasságtól számítva írtuk fel a nyomatékokat), ez a medence aljától $$\frac h3$$ magasságot jelent.</wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2014. január 9., 16:46-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
| Gyakorlatok listája: |
| Mechanika - Rugalmasság, folyadékok |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (*5.7.) Mekkora vízszintes irányú erőt fejt ki a
sűrűségű folyadék egy medence függőleges, sík falára, ha a vízmagasság 
, a fal hosszúsága pedig 
? Milyen magasságban van az eredő erő támadáspontja?
Megoldás
Az eredő erőt a mélységtől függő hidrosztatiksai nyomás által a felületelemekre kifejtett erőelemek integrálásával kaphatjuk meg. Ugyanígy kapható egy eredő forgatónyomaték nyomatékelemek integrálásával, az eredő erő támadáspontját pedig abból kaphatjuk meg, hogy oda helyezve ezzel megegyező nyomatékot kell adnia. A hidrosztatikai nyomás függése a mélységtől
, egy felületelem mérete 
, így egy mélységben található darabkára ható erőelem 
, ebből az eredő erő ![\[F_e=\int_0^L\int_0^h\rho_vg\tilde h\text{d}\tilde h\text{d}L=\rho_vgL\frac{h^2}2\]](/images/math/b/e/f/bef387cf7309dd5ad822639e18ce82eb.png)
![\[M_e=\int_0^L\int_0^h\text{d}M(h)=\int_0^L\int_0^h\text{d}F(h)h=\int_0^L\int_0^h\rho_vg\tilde h^2\text{d}\tilde h\text{d}L=\rho_vgL\frac{h^3}3=F_ed,\]](/images/math/7/e/a/7ea5eab265c03618b79ca951f270d646.png)
a keresett támadáspont. Behelyettesítve az eredő erőt egyszerűsítés után kapjuk: 
, melyből 
a támadáspont mélysége a vízszinttől (amely magasságtól számítva írtuk fel a nyomatékokat), ez a medence aljától ![\[\frac h3\]](/images/math/a/e/7/ae7998c299ed89dbc56c73232660d025.png)
