Elektrosztatika példák - Áramvonalak törési törvénye

Feladat

1. Határozzuk meg az áramvonalak törési törvényét a $\setbox0\hbox{$\sigma_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\sigma_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vezetőképességű közegek határán.

Megoldás

Legyen $\setbox0\hbox{$\alpha_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\alpha_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az áramvonalaknak a közeghatár normálisával bezárt szöge a két közegben. A kontinuitási törvény értelmében az áramvonalak határfelületre merőleges komponense állandó.

$\[\vec{j_1}\cdot\vec{A} =\vec{j_2}\cdot\vec{A} \rightarrow j_1\cos\left(\alpha_1\right) = j_2\cos\left(\alpha_2\right) \]$

Az örvénymentességből pedig következik, hogy az elektromos tér felülettel párhuzamos komponense folytonosan megy át:

$\[E_{1t} = E_{2t} \]$

Ezen összefüggésbe behelyettesítve a differenciális Ohm-törvényt:

$\[\frac{j_1 \sin\left(\alpha_1\right)}{\sigma_1} = \frac{j_2 \sin\left(\alpha_2\right)}{\sigma_2}\]$

A határfelületre merőleges és párhuzamos áramsűrűség-komponensekre felírt egyenletek hányadosát véve megkapjuk a törési törvényt:

$\[\sigma_1\cdot\cot\left(\alpha_1\right) = \sigma_2\cdot\cot\left(\alpha_2\right)\]$