Mechanika - Korong fonállal gyorsítva

Feladat

1. (*3.2.5.) Rögzített tengely körül forgó $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű és $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú korong kerületére fonalat csavarunk. A fonalat állandó $\setbox0\hbox{$P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ teljesítményű energiaforrással kapcsolatban álló szerkezet feszíti.

   a) Hogyan változik a korong szöggyorsulása az idő függvényében, ha a korong a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban nyugalomban volt?

   b) Mennyi ideig kell a fonalat húzni, ha a korong forgási energiáját $\setbox0\hbox{$E_{\rm{forg}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékre akarjuk növelni?

Megoldás

Mivel $\setbox0\hbox{$P=\text{áll.}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és a test nyugalomból indul,

$\[E_{\text{forg}}=\frac12\theta\omega^2(t)=Pt\]$

Ebből

$\[\omega(t)=\sqrt{\frac{2P}{\theta}}\sqrt{t},\]$

majd ezt idő szerint deriválva

$\[\beta=\dot\omega=\sqrt{\frac{P}{2\theta}} \frac1{\sqrt t}\]$

A megadott mozgási energia eléréséhez szükséges idő a teljesítmény állandósága miatt egyszerűen $\setbox0\hbox{$t=\frac{E_{\text{forg}}}P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$