Mechanika - Súrlódó tárcsák

Feladat

1. (*3.2.16.) Egymással párhuzamosan elhelyezkedő tengely körül foroghat egy $\setbox0\hbox{$m_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és egy $\setbox0\hbox{$m_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű tárcsa, melyek sugarai rendre $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú tárcsát $\setbox0\hbox{$\omega _0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel megforgatjuk, majd az álló $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú tárcsához nyomjuk $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erővel. A tárcsák érintkező felületei között a súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   

   a) Mennyi idő alatt érik el az együttforgás állapotát, és mekkora szögsebességgel forognak ekkor?

   b) Milyen értékűvé válik ez idő alatt a rendszer kinetikus energiája?

   c) Ellenőrizze az eredő impulzusmomentumot és annak változását. Mi okozza a változást?

   d) Milyen súrlódási tényező lenne energiatakarékosság szempontjából gazdaságos?

Megoldás

Mivel csúszási súrlódási erő hat, ennek nagysága ismert $\setbox0\hbox{$F_s=\mu F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és a két tárcsa közötti kölcsönhatást erőpárban valósítja meg a III. axióma szerint. Ezen erők nyomatéka a tárcsákon mindaddig hat, amíg az együttforgás be nem áll, azaz a tárcsák kerületi sebessége azonos nem lesz. Ekkor a csúszás megszűnik, és az együttforgás nulla tapadási súrlódási erővel fenntartható. A mozgásegyenletek:

$\[\theta_1\beta_1=-F_sR_1\]$

illetve

$\[\theta_2\beta_2=+F_sR_2,\]$

így a szöggyorsulások $\setbox0\hbox{$\beta_1=-\frac{2 \mu F}{m_1R_1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\beta_2=\frac{2 \mu F}{m_2R_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezzel a kerületi sebességek

$\[v_1(t)=R_1 (\omega_0+\beta_1t)\]$

és

$\[v_2(t)=R_2 (\beta_2t),\]$

melyek egyenlővé téve megadják a közös forgás létrejöttének idejét

$\[t=\frac{\omega_0R_1m_1m_2}{2\mu F(m_1+m_2)}\]$

Ezt visszahelyettesítve kapjuk a szögsebességeket ebben az állapotban: $\setbox0\hbox{$\omega_1=\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\omega_2=\omega_0\frac{R_1}{R_2}\frac{m_1}{m_1+m_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Érdemes megjegyezni, hogy bár a beállás ideje függ a súrlódási együtthatótól, a végállapot maga nem, tehát energetikailag a súrlódási együttható értéke ($\setbox0\hbox{$\mu=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t kivéve) közömbös! A mozgási energia:

$\[E=\frac14\omega_0^2R_1^2\frac{m_1^2}{m_1+m_2}.\]$

A kezdeti impulzusmomentum a kezdetben forgó tárcsa tengelyére nézve

$\[L_0=\frac12m_1R_1^2\omega_0.\]$

Könnyen ellenőrizhető, hogy azonos tömegek és sugarak esetén az együttforgás állapotában az eredő impulzusmomentum nulla, de más esetekben is az impulzusmomentum mindenképp megváltozik, mert hiába nulla a belsőnek számító súrlódási erők eredő forgatónyomatéka egy közös tengelyre nézve, a tengelyeket tartó (külső) erők egyikének van forgatónyomatéka. (Habár munkavégzésük nincs.) Fontos, hogy az eredő impulzusmomentumok és nyomatékok számításánál mindent egy kiválasztott tengelyre vonatkoztassunk! A feladat első felének megoldásánál ezt még elkerülhettük. A teljes impulzusmomentum a végállapotban

$\[L_1+L_2=\frac12\frac{m_1}{m_1+m_2}R_1(m_1R_1-m_2R_2)\]$

A tengelyt tartó erő forgatónyomatéka $\setbox0\hbox{$M_\text{T}=-\mu F(R_1+R_2),$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ezzel az impulzusmomentum megváltozása

$\[\Delta L=M_\text{T}t=-\frac{\omega_0R_1m_1m_2(R_1+R_2)}{2(m_1+m_2)}.\]$

Ellenőrizhető, hogy

$\[L_0+\Delta L=L_1+L_2.\]$