Mechanika - Kritikus csillapítás

Feladat

1. (6.31.) Hogyan változik meg az előző feladatban a test mozgása, ha olyan rugóra akasztjuk, amely $\setbox0\hbox{$1\,\rm N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hatására $\setbox0\hbox{$8\,\rm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-rel nyúlik meg és minden egyéb körülményt változatlanul hagyunk?

Megoldás

Mivel a rugóerő tízszeresére változott $\setbox0\hbox{$D=12,5\,\rm{\frac Nm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$\omega_0=\sqrt{25}\,\frac1{\rm s}=5\,\frac1{\rm s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, amely épp megegyezik a $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csillapítási tényezővel, így a rezgés kritikusan csillapított. Az ehhez tartozó általános megoldás

$\[x(t)=e^{-\beta t}(c_1+c_2t)\]$

A kezdeti feltételek illesztése:

$\[x(0)=1(c_1+c_20)=c_1=5\,\rm{cm}\]$

$\[\dot x(t)=-\beta e^{-\beta t}(c_1+c_2t)+e^{-\beta t}c_2\]$

$\[\dot x(0)=-\beta c_1+c_2=0\]$

$\[c_2=\beta c_1=0,25\,\rm{m/s}\]$