Feladat
- (*6.35.) Csillapított lineáris harmonikus oszcillátort kényszerrezgésbe hozunk. A mozgás folyamán lesz olyan időpont, amikor az oszcillátor sebessége a legnagyobb. Ha megváltoztatjuk a kényszererő frekvenciáját, megváltozik a legnagyobb sebesség értéke is. Hogyan válasszuk meg a kényszerrezgés frekvenciáját, hogy ez a legnagyobb sebesség (mint a frekvencia függvénye) maximális legyen? Mekkora körfrekvenciánál legnagyobb a rezgés amplitúdója?
Megoldás
Ha
függvény adja meg az állandósult rezgés amplitúdóját
![\setbox0\hbox{$mf_0=F_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/3/2/1322813f4febb5e8b4af3e193a8d076f.png)
amplitúdójú erőgerjesztés esetén, akkor a sebessségamplitúdó
![\setbox0\hbox{$v_{\rm{max}(\omega)}=\omega A(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/c/4/2c4080098770500b2091b4a11c21c70c.png)
lesz, és ennek keressük a szélsőértékét. Mielőtt azonban nekiállunk deriválni ezt a kifejezést, érdemes megnézni, hogy milyen jellegű. Először is
![\setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/2/3/e2397715416e86a8d68174643facb1e5.png)
értéke közömbös, tehát a továbbiakban 1-nek vesszük. Mivel mind a számláló, mind a nevezőben lévő gyökös kifejezés pozitív, kereshetjük a reciprok szélsőértékét, lévén az
![\setbox0\hbox{$1/x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/c/3/bc3138a9c5929876defbd3bee4f42675.png)
szigorúan monoton függvény. Hasonló okokból a kérdéses tört négyzetének a szélsőértékét is kereshetjük, mivel az
![\setbox0\hbox{$x^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/4/5/e/45e8d993bce4e3883f578dcf581dbf9d.png)
függvény pozitív argumentumú szakasza is szigorúan monoton. Végső soron tehát elegendő az
kifejezés szélsőértékét keresni. Mivel a második tag nem függ
![\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/0/8/b0846178f5f6c7380d8c80725e5869f7.png)
-tól, a szélsőérték helyét nem befolyásolja, az első tag törtje pedig mindenképp pozitív értékű, és
![\setbox0\hbox{$\omega=\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/3/7/137f0e74f09bdaed2cf8837cbf637111.png)
esetén éppen nulla, tehát minimális is, így ez a sebességrezonancia feltétele. Az amplitúdórezonancia helye szintén gyorsan megtalálható, ha egyből
![\setbox0\hbox{$\frac1{A^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/f/1/bf13e5bbc20c794f3815c09720a13c2a.png)
szélsőértékéthelyét keressük:
melyből rendezéssel és egyszerűsítéssel