Mechanika - Rángatott rugó

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Rezgések II.
Feladatok listája:
  1. Túlcsillapított rezgés
  2. Kritikus csillapítás
  3. Csillapodó rezgés periódusa
  4. Csillapodó rezgés paraméterei
  5. Rángatott rugó
  6. Rezonanciák
  7. Jósági tényező
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (6.34.) \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% direkciós erejű rugó felfüggesztési pontja \setbox0\hbox{$x_g(t)=x_0\cos\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szerint mozog. A rugóra függesztett \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű test súrlódó közegbe nyúlik, ezért \setbox0\hbox{$-k\dot x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fékező erő hat rá. Mekkora a test stacionárius rezgéseinek amplitúdója?

Megoldás

A test mozgásegyenlete:
\[m\ddot x=-D(x-x_g)-k\dot x=-Dx+Dx_0\cos\omega t-k\dot x\]
átosztva a tömeggel és rendezve
\[\ddot x+\omega_0^2x+2\beta\dot x=\omega_0^2x_0\cos\omega t,\]
ahol \setbox0\hbox{$\omega_0^2=\frac Dm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%a csillapítatlan sajátrezgés körfrekvenciája, \setbox0\hbox{$\beta=\frac k{2m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a csillapítási tényező. Ez az egyenlet megfelel az erőgerjesztett kényszerrezgés egyenletének, csak az \setbox0\hbox{$a_0=f_0=\frac{F_0}m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% gerjesztési (gyorsulás dimenziójú) amplitúdó helyett \setbox0\hbox{$\omega_0^2x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% látható. Innentől a megoldás megfelelő helyettesítéssel azonos az említett esetével, tehát a stacionáius rezgések amplitúdója az \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% gerjesztési frekvencia függvényében
\[A(\omega)=\frac{\omega_0^2x_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}}\]