Mechanika - Szíjhajtás

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Merev testek I.
Feladatok listája:
  1. Egyenletesen gyorsuló forgás
  2. Forgatónyomaték gyorsuló forgásnál
  3. Lendkerék fékezése
  4. Gömb felületén lévő tengellyel
  5. Korong fonállal gyorsítva
  6. Pálca mint inga
  7. Korong mint inga
  8. Forgó lemez közegellenállással
  9. Oldalra húzott rúd egyensúlya
  10. Falhoz támasztott létra
  11. Korongba lőtt golyó
  12. Összekapcsolódó lendkerekek
  13. Súrlódó tárcsák
  14. Szíjhajtás
  15. Tehetetlenségi nyomaték számítás
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*3.2.17.) Az \setbox0\hbox{$m_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$m_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű, \setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú rögzített tengely körül forgó, homogén tömegeloszlású tárcsák elhanyagolható tömegű szíjjal kapcsolódnak egymáshoz. A hajtó tárcsára \setbox0\hbox{$M_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagyságú forgatónyomaték hat, a másikat \setbox0\hbox{$M_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékű nyomaték terheli. Feltételezzük, hogy a szíj a tárcsákon nem csúszik meg.
    a) Határozzuk meg mindkét tárcsa szöggyorsulását!
    b) Hogyan függ az \setbox0\hbox{$M_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nyomatékot szolgáltató energiaforrás teljesítménye az időtől, ha a \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban a tárcsák álltak?
    c) Milyen teljesítménnyel végez munkát a terhelő szerkezet a \setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ik időpillanatban?
    d) Mire fordítódik az \setbox0\hbox{$M_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nyomatékot szolgáltató forrás energiájának és a terhelés által végzett munkának a különbsége?

Megoldás

A két tárcsa mozgásegyenletének felírásához a két megadott nyomatékon felül a többi nyomatékot is számba kell venni, melyet a szíjat feszítő erők tárcsákra ható ellenerői adnak. A szíj két szakaszát eltérő erő feszíti, így tud mindkét tárcsára eredő nem nulla nyomaték hatni a szíj részéről. Ezt a két erőt \setbox0\hbox{$F_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-el és \setbox0\hbox{$F_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel jelölve a nyomatéki mozgásegyenletek:
\[\theta_1\beta_1=M_1+(F_1-F_2)R_1\]
és
\[\theta_2\beta_2=-M_2+(F_2-F_1)R_2\]
A tömegközéppontok erőegyenleteit ezek megoldásához nem szükséges felírni, annyi többletinformáció adódik belőlük, hogy a tengelyeket tartó erő azonos a két tárcsánál és \setbox0\hbox{$T=F_1+F_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ki kell használni azonban, hogy a szíj nem csúszik meg, tehát a két tárcsa kerületi sebessége, így kerületi gyorsulásuk is azonos, ebből adódik a szöggyorsulások viszonyára \setbox0\hbox{$\beta_2=\beta_1\frac{R_1}{R_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ezt a második nyomatéki egyenletbe írva, majd a két egyenletet megfelelő tényezőkkel szorozva elérhető, hogy a tárcsák közti nyomatékátadást leíró tagok a két egyenlet összeadásakor kiesnek, így kapható
\[\beta_1=\frac{M_1R_2^2-M_2R_1R_2}{\theta_2R_1^2+\theta_1R_2^2},\]
ebből pedig \setbox0\hbox{$\beta_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A hatjószerkezet teljesítménye \setbox0\hbox{$P_1=M_1\omega_1(t)=M_1\beta_1t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a terhelő szerkezet munkavégzése pedig \setbox0\hbox{$P_2=M_2\omega_2(t)=M_2\beta_2t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A kettő különbségének idő szerinti integrálja a két tárcsából álló rendszer mozgási energiáját változtatja meg.