Pontrendszerek - 3.1.14

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Pontrendszerek
Feladatok listája:
  1. Pontrendszerek - 3.1.2
  2. Pontrendszerek - 3.1.3
  3. Pontrendszerek - 3.1.6
  4. Pontrendszerek - 3.1.7
  5. Pontrendszerek - 3.1.9
  6. Pontrendszerek - 3.1.11
  7. Pontrendszerek - 3.1.12
  8. Pontrendszerek - 3.1.13
  9. Pontrendszerek - 3.1.14
  10. Pontrendszerek - 3.1.16
  11. Pontrendszerek - 3.1.18
  12. Pontrendszerek - Rugalmas ütközés térben
  13. Pontrendszerek - 3.1.21
  14. Pontrendszerek - 3.1.23
  15. Pontrendszerek - 3.1.26
  16. Pontrendszerek - 3.3.1
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*3.1.14) Egy súrlódásmentes asztalon \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hajlásszögű, \setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű lejtő van, amelynek alapja \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszú. A lejtő tetején egy \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű test van. Mekkora távolságra mozdul el a lejtő azalatt míg a test a lejtő aljára csúszik le?

Megoldás

  1. Rögzítsük a vonatkoztatási rendszert úgy, hogy az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%- és \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%- tengelyek a lejtő egymásra merőleges oldalaira illeszkednek. Jelöljük \setbox0\hbox{$x_{M}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-mel a lejtő tömegközéppontját, amelyet bizonyos esetekben meg is tudnánk határozni, azonban a számolás során nem lesz szükség a pontos értékére. A teljes rendszer tömegközéppontja
    \[x_{\mathrm{TKP}}=\frac{0\cdot m+ x_{M} M}{m+M}\,,\]
    amely a mozgás során nem változik, hiszen nincs súrlódás az asztal és a lejtő között, így nem hat semmilyen vízszintes irányú külső erő a rendszerre. Ha a lecsúszás után a lejtő \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságra tolódott el negatív irányba, akkor a rajta lévő \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű test az \setbox0\hbox{$l-d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pozícióba kerül. A végállapotban a tömegközéppont helye
    \[x_{\mathrm{TKP}}=\frac{m(l-d)+M\left(x_{M}-d\right)}{m+M}\,.\]
    A két egyenletet összevetve
    \[d=\frac{m}{m+M}l\]
    adódik függetlenül attól, hogy a lejtő homogén-e vagy sem.

    Megjegyzés: Homogén lejtő esetén ki lehetne számolni a lejtő tömegközéppontjának helyzetét az alábbi számolás szerint. A kezdeti állapotban
    \[x_{M}=\frac{1}{M}\int_{0}^{l}\int_{0}^{l\,\mbox{tg}\,\alpha\left(1-\frac{x}{l}\right)}\rho(x,y) x dy dx\,,\]
    ahol \setbox0\hbox{$\rho(x,y)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a lejtő sűrűsége. Homogén lejtő esetén
    \[\rho(x,y)=\frac{2M}{l^{2}\,\mbox{tg}\,\alpha}\,.\]
    Így a lejtő tömegközéppontja az
    \[x_{M}=\frac{l}{3}\]
    helyen van.