Pontrendszerek - Rugalmas ütközés térben

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű részecske vele azonos tömegű, álló részecskének ütközik, rugalmasan. Mutassuk meg, hogy a két részecske ütközés utáni sebességvektorai merőlegesek egymásra!

Megoldás

1. Az impulzusmegmaradás:

   $\[\vec{p}_0 = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 \; .\]$

   Az energiamegmaradás:

   $\[\frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 \; . \]$

   Ezt megszorozva $\setbox0\hbox{$2m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-mel, és kihasználva, hogy $\setbox0\hbox{$m v_i = p_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, az energiamegmaradási egyenlet az alábbi alakot ölti:

   $\[p_0^2 = p_1^2 + p_2^2 \; .\]$

   Ezt összevetve az impulzusmegmaradásban megjelnő vektorháromszögre azonnal látjuk, hogy a Pitagorasz tétel megfordítása miatt a háromszög derékszögű, tehát $\setbox0\hbox{$\vec{p}_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\vec{p}_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ merőlegesek.