„Mechanika - Súrlódó tárcsák” változatai közötti eltérés

}}

}}

== Feladat ==

== Feladat ==

#: a) Mennyi idő alatt érik el az együttforgás állapotát, és mekkora szögsebességgel forognak ekkor?

#: a) Mennyi idő alatt érik el az együttforgás állapotát, és mekkora szögsebességgel forognak ekkor?

#: b) Milyen értékűvé válik ez idő alatt a rendszer kinetikus energiája?

#: b) Milyen értékűvé válik ez idő alatt a rendszer kinetikus energiája?

#: c) Ellenőrizze az eredő impulzusmomentum megmaradását! Mi a megmaradás feltétele?

#: c) Ellenőrizze az eredő impulzusmomentum megmaradását! Mi a megmaradás feltétele?

#: d) Milyen súrlódási tényező lenne energiatakarékosság szempontjából gazdaságos?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Határozzuk meg a szöggyorsulásokat, majd vizsgáljuk meg, hogy mikor válnak egyenlővé a kerületi sebességek.}}{{Végeredmény|content=$$t=\frac{\omega_0R_1m_1m_2}{2\mu F(m_1+m_2)}$$ $$\omega_1=\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}$$ $$\omega_2=\omega_0\frac{R_1}{R_2}\frac{m_1}{m_1+m_2}$$ $$E=\frac14\omega_0R_1\frac{m_1}{m_1+m_2}(m_1R_1+m_2R_2)$$ $$\Delta L=\frac12\frac{m_1m_2\omega_0(R_2R_1-R_1^2)}{m_1+m_2}$$ Ez csak azonos sugarak esetén nulla. A súrlódási együttható teszőleges nem nulla érték lehet.}}</wlatex></includeonly><noinclude>

#: d) Milyen súrlódási tényező lenne energiatakarékosság szempontjából gazdaságos?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Határozzuk meg a szöggyorsulásokat, majd vizsgáljuk meg, hogy mikor válnak egyenlővé a kerületi sebességek.}}{{Végeredmény|content=$$t=\frac{\omega_0R_1m_1m_2}{2\mu F(m_1+m_2)}$$ $$\omega_1=\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}$$ $$\omega_2=\omega_0\frac{R_1}{R_2}\frac{m_1}{m_1+m_2}$$ $$E=\frac14\omega_0R_1\frac{m_1}{m_1+m_2}(m_1R_1+m_2R_2)$$ $$\Delta L=\frac12\frac{m_1m_2\omega_0(R_2R_1-R_1^2)}{m_1+m_2}$$ Ez csak azonos sugarak esetén nulla. A súrlódási együttható teszőleges nem nulla érték lehet.}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==

== Megoldás ==

<wlatex>Mivel csúszási súrlódási erő hat, ennek nagysága ismert $F_s=\mu F$, és a két tárcsa közötti kölcsönhatást erőpárban valósítja meg a III. axióma szerint. Ezen erők nyomatéka a tárcsákon mindaddig hat, amíg az együttforgás be nem áll, azaz a tárcsák kerületi sebessége azonos nem lesz. Ekkor a csúszás megszűnik, és az együttforgás nulla tapadási súrlódási erővel fenntartható. A mozgásegyenletek: $$\theta_1\beta_1=-F_sR_1$$ illetve $$\theta_2\beta_2=+F_sR_2,$$ így a szöggyorsulások $\beta_1=-\frac{2 \mu F}{m_1R_1}$ és $\beta_2=\frac{2 \mu F}{m_2R_2}$. Ezzel a kerületi sebességek $$v_1(t)=R_1 (\omega_0+\beta_1t)$$ és $$v_2(t)=R_2 (\beta_2t),$$ melyek egyenlővé téve megadják a közös forgás létrejöttének idejét $$t=\frac{\omega_0R_1m_1m_2}{2\mu F(m_1+m_2)}$$ Ezt visszahelyettesítve kapjuk a szögsebességeket ebben az állapotban: $\omega_1=\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}$ és $\omega_2=\omega_0\frac{R_1}{R_2}\frac{m_1}{m_1+m_2}$. Érdemes megjegyezni, hogy bár a beállás ideje függ a súrlódási együtthatótól, a végállapot maga nem, tehát energetikailag a súrlódási együttható értéke ($\mu=0$-t kivéve) közömbös! A mozgási energia: $$E=\frac14\omega_0R_1\frac{m_1}{m_1+m_2}(m_1R_1+m_2R_2),$$ az impulzusmomentum pedig $$L=\frac12\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}(m_1R_1^2+m_2R_1R_2),$$ amely nem egyezik a kezdeti $$L_0=\frac12m_1R_1^2\omega_0$$ értékkel. Az impulzusmomentum megváltozását képezhetjük e kettő különbségéből, vagy a $\Delta L=\dot Lt$ összefüggéssel felhasználva, hogy $$\dot L=M_1+M_2=F_s(R_2-R_1),$$ így $$\Delta L=\frac12\frac{m_1m_2\omega_0(R_2R_1-R_1^2)}{m_1+m_2}$$ Látható, hogy az impulzusmomentum csak akkor marad meg, ha a tárcsák sugara azonos, így a belső (ez esetben súrlódási) erők eredő nyomatéka is nulla.</wlatex>

<wlatex>Mivel csúszási súrlódási erő hat, ennek nagysága ismert $F_s=\mu F$, és a két tárcsa közötti kölcsönhatást erőpárban valósítja meg a III. axióma szerint. Ezen erők nyomatéka a tárcsákon mindaddig hat, amíg az együttforgás be nem áll, azaz a tárcsák kerületi sebessége azonos nem lesz. Ekkor a csúszás megszűnik, és az együttforgás nulla tapadási súrlódási erővel fenntartható. A mozgásegyenletek: $$\theta_1\beta_1=-F_sR_1$$ illetve $$\theta_2\beta_2=+F_sR_2,$$ így a szöggyorsulások $\beta_1=-\frac{2 \mu F}{m_1R_1}$ és $\beta_2=\frac{2 \mu F}{m_2R_2}$. Ezzel a kerületi sebességek $$v_1(t)=R_1 (\omega_0+\beta_1t)$$ és $$v_2(t)=R_2 (\beta_2t),$$ melyek egyenlővé téve megadják a közös forgás létrejöttének idejét $$t=\frac{\omega_0R_1m_1m_2}{2\mu F(m_1+m_2)}$$ Ezt visszahelyettesítve kapjuk a szögsebességeket ebben az állapotban: $\omega_1=\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}$ és $\omega_2=\omega_0\frac{R_1}{R_2}\frac{m_1}{m_1+m_2}$. Érdemes megjegyezni, hogy bár a beállás ideje függ a súrlódási együtthatótól, a végállapot maga nem, tehát energetikailag a súrlódási együttható értéke ($\mu=0$-t kivéve) közömbös! A mozgási energia: $$E=\frac14\omega_0R_1\frac{m_1}{m_1+m_2}(m_1R_1+m_2R_2),$$ az impulzusmomentum pedig $$L=\frac12\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}(m_1R_1^2+m_2R_1R_2),$$ amely nem egyezik a kezdeti $$L_0=\frac12m_1R_1^2\omega_0$$ értékkel. Az impulzusmomentum megváltozását képezhetjük e kettő különbségéből, vagy a $\Delta L=\dot Lt$ összefüggéssel felhasználva, hogy $$\dot L=M_1+M_2=F_s(R_2-R_1),$$ így $$\Delta L=\frac12\frac{m_1m_2\omega_0(R_2R_1-R_1^2)}{m_1+m_2}$$ Látható, hogy az impulzusmomentum csak akkor marad meg, ha a tárcsák sugara azonos, így a belső (ez esetben súrlódási) erők eredő nyomatéka is nulla.</wlatex>

</noinclude>

</noinclude>