„Elektrosztatika példák - Változó vezetőképességű anyaggal töltött kocka ellenállása” változatai közötti eltérés
| 9. sor: | 9. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex>#Egy $a$ élhosszúságú kocka anyagának vezetőképessége a magasság függvényében így változik: | </noinclude><wlatex>#Egy $a$ élhosszúságú kocka anyagának vezetőképessége a magasság függvényében így változik: | ||
| − | + | $\sigma = \sigma_0\cdot\frac{2a-z}{a}$ Számítsuk ki a kocka ellenállását <br> '''a)''' az alsó és felső; <br> '''b)''' a két átellenes, oldalsó lap között.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(2\right)}{\sigma_0 a}$$ <br> '''b)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a \sigma_0}$$}} | |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
A lap 2013. július 1., 19:00-kori változata
Feladat
- Egy
élhosszúságú kocka anyagának vezetőképessége a magasság függvényében így változik:
Számítsuk ki a kocka ellenállását
a) az alsó és felső;
b) a két átellenes, oldalsó lap között.
Megoldás
a, A kontiunuitási egyenlet miatt:
\[j(z)\cdot a^2 = áll \Rightarrow j(z) = j_0\]
A differenciális Ohm-törvényt felírva:
![\[j_0 = E(z)\cdot\sigma(z)\]](/images/math/e/a/9/ea9076c93a826f3c9005321bf491adea.png)
amiből:
![\[E(z) = \frac{j_0}{\sigma(z)} = \frac{j_0\cdot a}{\sigma_0\left(2a-z\right)}\]](/images/math/3/0/7/3077f762b3f9748ccf39d6d40f217eb0.png)
Ebből a potenciálkülönbség a két elektróda között:
![\[U = \int_0^a E(z)dz = \frac{j_0\cdot a}{\sigma_0} \cdot\ln\left(2\right)\]](/images/math/9/7/d/97d5eea8bf3b89a0e6f1eadb49897c49.png)
Az áram pedig:
![\[I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = j_0\cdot a^2\]](/images/math/b/c/f/bcfbf0ac7f986f848d2278c7443b143c.png)
Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből:
![\[R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(2\right)}{\sigma_0 a}\]](/images/math/d/8/0/d80263204117fffda3b7802dc8ae4071.png)
b, Ebben az esetben az áram a 
irányra merőlegesen folyik.
Mivel stacionárius áramlást nézünk, ezért igaz a hurok törvény:
![\[\oint \vec{E}\cdot\vec{dl} = 0 \rightarrow E(z_1)a-E(z_2)a = 0 \rightarrow E(z_1) = E(z_2) = E_0 \]](/images/math/0/9/b/09b5a9aca751cb52c04959d21f108861.png)
vagyis a kockában homogén, -re merőleges elektromos tér jön létre.
Ezért a potenciálkülönbség a két elektróda között:
![\[U = E_0\cdot a\]](/images/math/4/c/b/4cbcd8f20cff6b768c66c1ba95f376c4.png)
Az áramsűrűség pedig a differenciális Ohm-törvény értelmében a következőképpen változik a irányban:
\[j(z) = E_0\cdot\sigma (z) =E_0 a}\sigma_0\cdot\left(2a-z\right) \]
A kockán átfolyó áramot az áramsűrűség felületi integráljaként kapjuk meg:
\[I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \int_0^a E_0 a}\sigma_0\cdot\left(2a-z\right)\cdot a\cdot dz = \frac{3}{2} a^2 E_0 \sigma_0\]
Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből:
![\[R = \frac{U}{I} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a \sigma_0}\]](/images/math/9/0/a/90a6b8c81711ff8f24702692d022b09b.png)
