„Elektrosztatika példák - Változó vezetőképességű anyaggal töltött kocka ellenállása” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
13. sor: | 13. sor: | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
a, A kontiunuitási egyenlet miatt: | a, A kontiunuitási egyenlet miatt: | ||
− | $$j(z)\cdot a^2 = | + | $$j(z)\cdot a^2 = all \Rightarrow j(z) = j_0$$ |
A differenciális Ohm-törvényt felírva: | A differenciális Ohm-törvényt felírva: | ||
$$j_0 = E(z)\cdot\sigma(z)$$ | $$j_0 = E(z)\cdot\sigma(z)$$ | ||
31. sor: | 31. sor: | ||
$$U = E_0\cdot a$$ | $$U = E_0\cdot a$$ | ||
Az áramsűrűség pedig a differenciális Ohm-törvény értelmében a következőképpen változik a $z$ irányban: | Az áramsűrűség pedig a differenciális Ohm-törvény értelmében a következőképpen változik a $z$ irányban: | ||
− | $$j(z) = E_0\cdot\sigma (z) =E_0 | + | $$j(z) = E_0 \cdot \sigma (z) =E_0 \sigma_0\cdot \dfrac {\left(2a-z\right)}{a} $$ |
A kockán átfolyó áramot az áramsűrűség felületi integráljaként kapjuk meg: | A kockán átfolyó áramot az áramsűrűség felületi integráljaként kapjuk meg: | ||
− | $$I = \ | + | |
+ | $$I = \int \vec{j}\cdot\vec{dA} = \int_0^a E_0 \sigma_0\cdot \dfrac{\left(2a-z\right)}{a} \cdot a\cdot dz = \frac{3}{2} a^2 E_0 \sigma_0$$ | ||
Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből: | Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből: | ||
$$R = \frac{U}{I} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a \sigma_0}$$ | $$R = \frac{U}{I} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a \sigma_0}$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. július 25., 16:14-kori változata
Feladat
- Egy élhosszúságú kocka anyagának vezetőképessége a magasság függvényében így változik: Számítsuk ki a kocka ellenállását
a) az alsó és felső;
b) a két átellenes, oldalsó lap között.
Megoldás
a, A kontiunuitási egyenlet miatt:
A differenciális Ohm-törvényt felírva:
amiből:
Ebből a potenciálkülönbség a két elektróda között:
Az áram pedig:
Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből:
b, Ebben az esetben az áram a irányra merőlegesen folyik. Mivel stacionárius áramlást nézünk, ezért igaz a hurok törvény:
vagyis a kockában homogén, -re merőleges elektromos tér jön létre. Ezért a potenciálkülönbség a két elektróda között:
Az áramsűrűség pedig a differenciális Ohm-törvény értelmében a következőképpen változik a irányban:
A kockán átfolyó áramot az áramsűrűség felületi integráljaként kapjuk meg:
Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből: