„Pontrendszerek - 3.1.9” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (→Feladat) |
|||
| (2 szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># (3.1.9) Vízszintes talajon $m_{1}=40\,\mathrm{kg}$ tömegű láda fekszik, a súrlódási együttható $\mu=0,2$. Mekkora $m_{2}$ tömegű test képes a ládát megmozdítani az ábrán látható elrendezésben? Mekkora pillanatnyi gyorsulással indulna el ilyen $m_{2}$ tömeg hatására a láda egy súrlódásmentes vízszintes síkon? A csiga tömegét és súrlódását a számításokban elhanyagolhatjuk. ($\alpha=30^\circ$)[[Kép:Kfgy1_3_1_9.svg|none| | + | </noinclude><wlatex># (*3.1.9) Vízszintes talajon $m_{1}=40\,\mathrm{kg}$ tömegű láda fekszik, a súrlódási együttható $\mu=0,2$. Mekkora $m_{2}$ tömegű test képes a ládát megmozdítani az ábrán látható elrendezésben? Mekkora pillanatnyi gyorsulással indulna el ilyen $m_{2}$ tömeg hatására a láda egy súrlódásmentes vízszintes síkon? A csiga tömegét és súrlódását a számításokban elhanyagolhatjuk. ($\alpha=30^\circ$)[[Kép:Kfgy1_3_1_9.svg|none|255px]] </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A tapadás feltétele, hogy a tapadási súrlódási erő felső korlátját $T\leq \mu N$ szerint adhatjuk meg.}}{{Végeredmény|content= $m_{2}> 8,28\,\mathrm{kg}$ <br> $a=1,52\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex>#: Vizsgáljuk meg, hogy mi a feltétele annak, hogy az $m_{1}$ | + | <wlatex>#: Vizsgáljuk meg, hogy mi a feltétele annak, hogy az $m_{1}$ tömegű test ne mozduljon el. A rá ható erők az $F_{g}$ gravitációs erő, $N$ nyomóerő, $T$ tapadási súrlódási erő és a kötél által kifejtett $K$ kötélerő, melynek iránya a vízszintessel $\alpha$ szöget zár be. A kötélerőt felbontjuk vízszintes ($K\cos\alpha$) és függőleges ($K\sin\alpha$) komponensekre. Az $m_{1}$ tömegű testre vonatkozó függőleges és vízszintes irányú mozgásegyenletek $$K\sin\alpha+N=m_{1}g\qquad\qquad K\cos\alpha=T\,.$$ Az $m_{2}$ tömegű test sem mozdul ebben az esetben, így $K=m_{2}g$. A tapadási súrlódási erő és a nyomóerő között teljesülnie kell az alábbi összefüggésnek. $$T\leq \mu N$$ $$m_{2}\leq \frac{\mu}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}m_{1}$$ Ez a feltétel azt adja meg, hogy mekkorának kell lennie az $m_{2}$ tömegű testnek ahhoz, hogy az $m_{1}$ tömegű ne mozduljon el. Ha ennek ellenkezőjére vagyunk kíváncsiak, vagyis arra, hogy mekkora $m_{2}$ kell ahhoz, hogy $m_{1}$ elmozduljon, akkor nyilvánvalóan $$m_{2}> \frac{\mu}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}m_{1}=8,28\,\mathrm{kg}$$ kell, hogy teljesüljön. <br> Ha nem lenne súrlódás és $m_{2}=8,28\,\mathrm{kg}$ lenne, akkor az $m_{1}$ tömegű test vízszintes irányú, $a$ nagyságú, míg az $m_{2}$ tömegű test pedig $a\cos\alpha$ gyorsulással indul el. Az $a$ gyorsulás meghatározásához írjuk fel a mozgás egyenleteket. $$m_{1}a=K\cos\alpha$$ $$m_{2}a\cos\alpha=m_{2}g-K$$ A két egyenlet alapján $$a=\frac{m_{2}}{m_{2}\cos\alpha+\frac{m_{1}}{\cos\alpha}}g=1,52\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$$ gyorsulással indulna el. |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2014. január 9., 15:38-kori változata
Feladat
- (*3.1.9) Vízszintes talajon
tömegű láda fekszik, a súrlódási együttható 
. Mekkora 
tömegű test képes a ládát megmozdítani az ábrán látható elrendezésben? Mekkora pillanatnyi gyorsulással indulna el ilyen tömeg hatására a láda egy súrlódásmentes vízszintes síkon? A csiga tömegét és súrlódását a számításokban elhanyagolhatjuk. (
)
Megoldás
- Vizsgáljuk meg, hogy mi a feltétele annak, hogy az
tömegű test ne mozduljon el. A rá ható erők az 
gravitációs erő, 
nyomóerő, 
tapadási súrlódási erő és a kötél által kifejtett 
kötélerő, melynek iránya a vízszintessel 
szöget zár be. A kötélerőt felbontjuk vízszintes (
) és függőleges (
) komponensekre. Az tömegű testre vonatkozó függőleges és vízszintes irányú mozgásegyenletek Az![\[K\sin\alpha+N=m_{1}g\qquad\qquad K\cos\alpha=T\,.\]](/images/math/1/3/f/13f26bf8dd8c29ffcc0c3cac6f941bbe.png)
tömegű test sem mozdul ebben az esetben, így 
. A tapadási súrlódási erő és a nyomóerő között teljesülnie kell az alábbi összefüggésnek. ![\[T\leq \mu N\]](/images/math/7/7/5/7752e5d9457e3df8432246f73c90cb4a.png)
Ez a feltétel azt adja meg, hogy mekkorának kell lennie az![\[m_{2}\leq \frac{\mu}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}m_{1}\]](/images/math/a/1/5/a15e1e3ee01412315dc187151b5803c2.png)
tömegű testnek ahhoz, hogy az tömegű ne mozduljon el. Ha ennek ellenkezőjére vagyunk kíváncsiak, vagyis arra, hogy mekkora kell ahhoz, hogy elmozduljon, akkor nyilvánvalóan kell, hogy teljesüljön.![\[m_{2}> \frac{\mu}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}m_{1}=8,28\,\mathrm{kg}\]](/images/math/2/3/4/2349b8ccce3addc5920b91e34d06e690.png)
Ha nem lenne súrlódás és
lenne, akkor az tömegű test vízszintes irányú, 
nagyságú, míg az tömegű test pedig 
gyorsulással indul el. Az gyorsulás meghatározásához írjuk fel a mozgás egyenleteket. ![\[m_{1}a=K\cos\alpha\]](/images/math/8/b/8/8b898a84d8aa2cb358bec0bde67dcf11.png)
A két egyenlet alapján![\[m_{2}a\cos\alpha=m_{2}g-K\]](/images/math/d/5/0/d5030430ec6dc80e9878f6340dd51650.png)
gyorsulással indulna el.![\[a=\frac{m_{2}}{m_{2}\cos\alpha+\frac{m_{1}}{\cos\alpha}}g=1,52\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\]](/images/math/5/3/e/53e3ba7e3396f51af557d571db3d354b.png)
- Vizsgáljuk meg, hogy mi a feltétele annak, hogy az
