„Pontrendszerek - 3.1.14” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám Kategória:Mechanika - Pontrendszerek {{Kísérleti fizika gyakorl…”) |
a (→Feladat) |
||
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Egy súrlódásmentes asztalon $\alpha$ hajlásszögű | + | </noinclude><wlatex># (*3.1.14) Egy súrlódásmentes asztalon $\alpha$ hajlásszögű, $M$ tömegű lejtő van, amelynek alapja $l$ hosszú. A lejtő tetején egy $m$ tömegű test van. Mekkora távolságra mozdul el a lejtő azalatt míg a test a lejtő aljára csúszik le? |
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Gondold végig, hogy milyen (irányú) külső erők hatnak a rendszerre!}}{{Végeredmény|content=$$d=\frac{m}{m+M}l$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Gondold végig, hogy milyen (irányú) külső erők hatnak a rendszerre!}}{{Végeredmény|content=$$d=\frac{m}{m+M}l$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>#: Rögzítsük a vonatkoztatási rendszert az | + | <wlatex>#: Rögzítsük a vonatkoztatási rendszert úgy, hogy az $x$- és $y$- tengelyek a lejtő egymásra merőleges oldalaira illeszkednek. Jelöljük $x_{M}$-mel a lejtő tömegközéppontját, amelyet bizonyos esetekben meg is tudnánk határozni, azonban a számolás során nem lesz szükség a pontos értékére. A teljes rendszer tömegközéppontja $$x_{\mathrm{TKP}}=\frac{0\cdot m+ x_{M} M}{m+M}\,,$$ amely a mozgás során nem változik, hiszen nincs súrlódás az asztal és a lejtő között, így nem hat semmilyen vízszintes irányú külső erő a rendszerre. Ha a lecsúszás után a lejtő $d$ távolságra tolódott el negatív irányba, akkor a rajta lévő $m$ tömegű test az $l-d$ pozícióba kerül. A végállapotban a tömegközéppont helye $$x_{\mathrm{TKP}}=\frac{m(l-d)+M\left(x_{M}-d\right)}{m+M}\,.$$ A két egyenletet összevetve $$d=\frac{m}{m+M}l$$ adódik függetlenül attól, hogy a lejtő homogén-e vagy sem. <br> <br> Megjegyzés: Homogén lejtő esetén ki lehetne számolni a lejtő tömegközéppontjának helyzetét az alábbi számolás szerint. A kezdeti állapotban $$x_{M}=\frac{1}{M}\int_{0}^{l}\int_{0}^{l\,\mbox{tg}\,\alpha\left(1-\frac{x}{l}\right)}\rho(x,y) x dy dx\,,$$ ahol $\rho(x,y)$ a lejtő sűrűsége. Homogén lejtő esetén $$\rho(x,y)=\frac{2M}{l^{2}\,\mbox{tg}\,\alpha}\,.$$ Így a lejtő tömegközéppontja az $$x_{M}=\frac{l}{3}$$ helyen van. |
− | + | ||
− | Jelöljük $x_{M}$-mel a lejtő tömegközéppontját, amelyet bizonyos esetekben meg is tudnánk határozni, azonban a számolás során nem lesz szükség a pontos értékére. A teljes rendszer tömegközéppontja $$x_{TKP}=\frac{0\cdot m+ x_{M} M}{m+M}\,,$$ amely a mozgás során nem változik, hiszen nincs súrlódás az asztal és a lejtő között, így nem hat semmilyen vízszintes irányú külső erő a rendszerre. Ha a lecsúszás után a lejtő $d$ távolságra tolódott el negatív irányba, akkor a rajta lévő $m$ tömegű test az $l-d$ pozícióba kerül. A végállapotban a tömegközéppont helye $$x_{TKP}=\frac{m(l-d)+M\left(x_{M}-d\right)}{m+M}\,.$$ A két egyenletet összevetve $$d=\frac{m}{m+M}l$$ adódik függetlenül attól, hogy a lejtő homogén-e vagy sem. <br> <br> Megjegyzés: Homogén lejtő esetén ki lehetne számolni a lejtő tömegközéppontjának helyzetét az alábbi számolás szerint. A kezdeti állapotban $$x_{M}=\frac{1}{M}\int_{0}^{l}\int_{0}^{l\,\mbox{tg}\,\alpha\left(1-\frac{x}{l}\right)}\rho(x,y) x dy dx\,,$$ ahol $\rho(x,y)$ a lejtő sűrűsége. Homogén lejtő esetén $$\rho(x,y)=\frac{2M}{l^{2}\,\mbox{tg}\,\alpha}\,.$$ Így a lejtő tömegközéppontja az $$x_{M}=\frac{l}{3}$$ helyen van. | + | |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2014. január 9., 16:38-kori változata
Feladat
- (*3.1.14) Egy súrlódásmentes asztalon
hajlásszögű,
tömegű lejtő van, amelynek alapja
hosszú. A lejtő tetején egy
tömegű test van. Mekkora távolságra mozdul el a lejtő azalatt míg a test a lejtő aljára csúszik le?
Megoldás
- Rögzítsük a vonatkoztatási rendszert úgy, hogy az
- és
- tengelyek a lejtő egymásra merőleges oldalaira illeszkednek. Jelöljük
-mel a lejtő tömegközéppontját, amelyet bizonyos esetekben meg is tudnánk határozni, azonban a számolás során nem lesz szükség a pontos értékére. A teljes rendszer tömegközéppontja
amely a mozgás során nem változik, hiszen nincs súrlódás az asztal és a lejtő között, így nem hat semmilyen vízszintes irányú külső erő a rendszerre. Ha a lecsúszás után a lejtőtávolságra tolódott el negatív irányba, akkor a rajta lévő
tömegű test az
pozícióba kerül. A végállapotban a tömegközéppont helye
A két egyenletet összevetveadódik függetlenül attól, hogy a lejtő homogén-e vagy sem.
Megjegyzés: Homogén lejtő esetén ki lehetne számolni a lejtő tömegközéppontjának helyzetét az alábbi számolás szerint. A kezdeti állapotbanahola lejtő sűrűsége. Homogén lejtő esetén
Így a lejtő tömegközéppontja azhelyen van.
- Rögzítsük a vonatkoztatási rendszert úgy, hogy az