„Mechanika - Súrlódó tárcsák” változatai közötti eltérés

</noinclude><wlatex># (*3.2.16.) Egymással párhuzamosan elhelyezkedő tengely körül foroghat egy $m_1$ és egy $m_2$ tömegű tárcsa, melyek sugarai rendre $R_1$ és $R_2$. Az $R_1$ sugarú tárcsát $\omega _0$ szögsebességgel megforgatjuk, majd az álló $R_2$ sugarú tárcsához nyomjuk $F$ erővel. A tárcsák érintkező felületei között a súrlódási együttható $\mu$. [[Kép:3.2.16.svg|none|300px]]

#: c) Ellenőrizze az eredő impulzusmomentumot és annak változását. Mi okozza a változást?

<wlatex> Mivel csúszási súrlódási erő hat, ennek nagysága ismert $F_s=\mu F$, és a két tárcsa közötti kölcsönhatást erőpárban valósítja meg a III. axióma szerint. Ezen erők nyomatéka a tárcsákon mindaddig hat, amíg az együttforgás be nem áll, azaz a tárcsák kerületi sebessége azonos nem lesz. Ekkor a csúszás megszűnik, és az együttforgás nulla tapadási súrlódási erővel fenntartható. A mozgásegyenletek: $$\theta_1\beta_1=-F_sR_1$$ illetve $$\theta_2\beta_2=+F_sR_2,$$ így a szöggyorsulások $\beta_1=-\frac{2 \mu F}{m_1R_1}$ és $\beta_2=\frac{2 \mu F}{m_2R_2}$. Ezzel a kerületi sebességek $$v_1(t)=R_1 (\omega_0+\beta_1t)$$ és $$v_2(t)=R_2 (\beta_2t),$$ melyek egyenlővé téve megadják a közös forgás létrejöttének idejét $$t=\frac{\omega_0R_1m_1m_2}{2\mu F(m_1+m_2)}$$ Ezt visszahelyettesítve kapjuk a szögsebességeket ebben az állapotban: $\omega_1=\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}$ és $\omega_2=\omega_0\frac{R_1}{R_2}\frac{m_1}{m_1+m_2}$. Érdemes megjegyezni, hogy bár a beállás ideje függ a súrlódási együtthatótól, a végállapot maga nem, tehát energetikailag a súrlódási együttható értéke ($\mu=0$-t kivéve) közömbös! A mozgási energia: $$E=\frac14\omega_0^2R_1^2\frac{m_1^2}{m_1+m_2}.$$ A kezdeti impulzusmomentum a kezdetben forgó tárcsa tengelyére nézve $$L_0=\frac12m_1R_1^2\omega_0.$$ Könnyen ellenőrizhető, hogy azonos tömegek és sugarak esetén az együttforgás állapotában az eredő impulzusmomentum nulla, de más esetekben is az impulzusmomentum mindenképp megváltozik, mert hiába nulla a belsőnek számító súrlódási erők eredő forgatónyomatéka egy közös tengelyre nézve, a tengelyeket tartó (külső) erők egyikének van forgatónyomatéka. (Habár munkavégzésük nincs.) Fontos, hogy az eredő impulzusmomentumok és nyomatékok számításánál mindent egy kiválasztott tengelyre vonatkoztassunk! A feladat első felének megoldásánál ezt még elkerülhettük. A teljes impulzusmomentum a végállapotban $$L_1+L_2=\frac12\frac{m_1}{m_1+m_2}R_1(m_1R_1-m_2R_2)$$ A tengelyt tartó erő forgatónyomatéka $M_\text{T}=-\mu F(R_1+R_2),$ ezzel az impulzusmomentum megváltozása $$\Delta L=M_\text{T}t=-\frac{\omega_0R_1m_1m_2(R_1+R_2)}{2(m_1+m_2)}.$$ Ellenőrizhető, hogy $$L_0+\Delta L=L_1+L_2.$$</wlatex>