„Mechanika - Jósági tényező” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő:Gombkötő Kategória:Mechanika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = …”) |
a (→Megoldás) |
||
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># (**6.36.) Valamely csillapított, kényszerrezgést végző rendszer jósági tényezőjét a következőképpen definiáljuk: $$Q=2\pi\frac{\text{a rendszer által tárolt energia}}{\text{egy periódus alatt disszipált energia}}$$ | + | </noinclude><wlatex># (**6.36.) Valamely csillapított, kényszerrezgést végző rendszer jósági tényezőjét a következőképpen definiáljuk: $$Q=2\pi\frac{\text{a rendszer által tárolt energia}}{\text{egy periódus alatt disszipált energia}}$$ Határozzuk meg a $Q(\omega)$ függvényt!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Határozzuk meg az átlagos mozgási és rugalmas energiát egy periódusra, valamint a gerjesztő erő teljesítményének integrálját szintén egy periódusra.}}{{Végeredmény|content=$$Q(\omega)=\frac{\omega_0^2+\omega^2}{4\omega\beta}\approx\frac{\omega_0}{2\beta}=\frac{\omega_0}{\Delta\omega_{1/2}}$$ a sebességrezonancia közelében.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>A rendszer által tárolt energia a kialakuló harmonikus rezgés energiája, amit az állandósult állapot állandó amplitúdója miatt könnyedén felírhatnánk az $$E=\frac12DA^2(\omega)$$ kifejezéssel (amely időfüggetlen), azonban ez átalában nem alkalmazható, mivel a rezgés nem a csillapítatlan sajátfrekvencián valósul meg, hanem a kényszerítetten. Fel kell írni külön a mozgási és a rugalmas helyzeti energia átlagát egy periódusra nézve, és ezek összegét venni. Legyen $F(t)=mf_0\sin\omega t$ a gerjesztő erő. A kialakuló rezgés időfüggése $x(t)=A(\omega)\sin(\omega t+\phi)$, a sebességé pedig $$v(t)=\omega A(\omega)\cos(\omega t+\phi)=\omega A(\omega)(\cos\omega t\cos\phi-\sin\omega t\sin\phi).$$ Ezekkel $$<E_m>=\frac12m<v^2(t)>=\frac12m\omega^2A^2(\omega)\frac12,$$ mivel a koszinusz négyzet függvény (lásd az első függvényalakot) átlagértéke $\frac12$. Hasonlóan $$<E_r>=\frac12D<x^2(t)>=\frac12m\omega_0^2A^2(\omega)\frac12.$$ Látható, hogy a kettő csak $\omega=\omega_0$ gerjesztési frekvenciánál egyenlő! A tárolt energia tehát: $$E=\frac{\frac14mf_0^2(\omega_0^2+\omega^2)}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}$$ A rendszer által disszipált energia nem más, mint amit a gerjesztő erő betáplál egy $T$ periódus alatt, azaz $$\Delta E=\int_0^TF(t)v(t)\rm dt$$ Ez az integrál $v(t)$ fenti második alakja miatt két tagból fog állni, és az időfüggetlen konstansokat kiemelve lényegében kétféle integrált kell meghatározni. Ebből az egyik: $$\int_0^T\sin\omega t\cos\omega t\rm dt=0,$$ mivel ez egy $2\omega$ frekvenciájú szinuszfüggvény alatti előjeles területet jelent, ami két teljes $T/2$ periódusára számolva éppen nulla. Marad tehát (a negatív előjeltől eltekintve) $$\Delta E=mf_0\omega A(\omega)\sin\phi\int_0^T\sin^2\omega t\rm dt,$$ melyben az integrál $\frac12 T$, azaz az átlagérték és az integrálási tartomány szorzata. A fázistolás szinusza $\sin\phi=\frac{2\beta\omega}{\sqrt{...}}$, mely gyök az amplitúdó $A(\omega)$ kifejezésében is látható. Összességében tehát $$\Delta E=mf_0\omega\frac{f_0}{\sqrt{...}}\frac T2\frac{2\beta\omega}{\sqrt{...}}=\frac{mf_0^2\omega^2T\beta}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}$$ Ennek nevezője azonos a tárolt energia kifejezésében láthatóéval, tehát a jósági tényezőben csak a számlálók hányadosa jelenik meg: $$Q(\omega)=2\pi\frac{\frac14mf_0^2(\omega_0^2+\omega^2))}{mf_0^2\omega^2T\beta}=\frac{\omega_0^2+\omega^2}{4\omega\beta},$$ amely $\omega\approx\omega_0$ gerjesztés esetén $$Q\approx\frac{\omega_0}{2\beta}=\frac{\omega_0}{\Delta\omega_{1/2}}$$ a félértékszélességel kifejezve.Tehát a jósági tényező a sebességrezonancia közelében kb. állandó rendszerparaméter, és kis csillapítás esetén az amplitúdó rezonancia is a közelében van.</wlatex> |
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2016. május 11., 14:38-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
Gyakorlatok listája: |
Mechanika - Rezgések II. |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (**6.36.) Valamely csillapított, kényszerrezgést végző rendszer jósági tényezőjét a következőképpen definiáljuk: Határozzuk meg a
függvényt!
Megoldás
A rendszer által tárolt energia a kialakuló harmonikus rezgés energiája, amit az állandósult állapot állandó amplitúdója miatt könnyedén felírhatnánk az![\[E=\frac12DA^2(\omega)\]](/images/math/7/5/4/7542e6d33504be54c4e88fc5ff08c597.png)
![\setbox0\hbox{$F(t)=mf_0\sin\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/c/c/8/cc8614096d1921d8974dbc96877e91b6.png)
![\setbox0\hbox{$x(t)=A(\omega)\sin(\omega t+\phi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/c/b/9cb85adbe717397a196e667b4d44096c.png)
![\[v(t)=\omega A(\omega)\cos(\omega t+\phi)=\omega A(\omega)(\cos\omega t\cos\phi-\sin\omega t\sin\phi).\]](/images/math/a/a/5/aa52791f376ec13b0cd1b26998276c25.png)
![\[<E_m>=\frac12m<v^2(t)>=\frac12m\omega^2A^2(\omega)\frac12,\]](/images/math/e/f/f/eff6ab6589fcceb5d57eea2411a11dc2.png)
![\setbox0\hbox{$\frac12$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/9/e/09e66152c1dc56f791a5e9e801f58b95.png)
![\[<E_r>=\frac12D<x^2(t)>=\frac12m\omega_0^2A^2(\omega)\frac12.\]](/images/math/0/f/5/0f5c2b286ee26590e04502ece9937693.png)
![\setbox0\hbox{$\omega=\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/3/7/137f0e74f09bdaed2cf8837cbf637111.png)
![\[E=\frac{\frac14mf_0^2(\omega_0^2+\omega^2)}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}\]](/images/math/7/d/1/7d1822b2f9146676dfc1f687c06b7b2b.png)
![\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/b/2/3b2ad7f3fb292ba74ae743277ad64ba4.png)
![\[\Delta E=\int_0^TF(t)v(t)\rm dt\]](/images/math/4/9/4/4943e8e5974211401d512871317a82bc.png)
![\setbox0\hbox{$v(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/2/e/e2eb6c896dd0f14d2869dee1efddb642.png)
![\[\int_0^T\sin\omega t\cos\omega t\rm dt=0,\]](/images/math/6/4/9/649f6e14014e8a9a4880b8fc06b8ca73.png)
![\setbox0\hbox{$2\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/9/3/1937573919487a33dbe541ed3d1acd75.png)
![\setbox0\hbox{$T/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/f/0/7/f07b07128cd8f50766e8b9239ec8084f.png)
![\[\Delta E=mf_0\omega A(\omega)\sin\phi\int_0^T\sin^2\omega t\rm dt,\]](/images/math/2/3/d/23dc4a5901a96876730f524b347f8d0f.png)
![\setbox0\hbox{$\frac12 T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/9/e/99e645609dfb1e04073e1c56d454f2b1.png)
![\setbox0\hbox{$\sin\phi=\frac{2\beta\omega}{\sqrt{...}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/5/4/b/54bedaa2a35b416202006a5ebe6cd988.png)
![\setbox0\hbox{$A(\omega)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/6/d/3/6d352de70ef6e6d415cf45bccb1209dd.png)
![\[\Delta E=mf_0\omega\frac{f_0}{\sqrt{...}}\frac T2\frac{2\beta\omega}{\sqrt{...}}=\frac{mf_0^2\omega^2T\beta}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}\]](/images/math/9/d/c/9dccf58dacf96b8f519adf244f117d1c.png)
![\[Q(\omega)=2\pi\frac{\frac14mf_0^2(\omega_0^2+\omega^2))}{mf_0^2\omega^2T\beta}=\frac{\omega_0^2+\omega^2}{4\omega\beta},\]](/images/math/0/f/2/0f26d020c08eff527fcebc5b8f90187b.png)
![\setbox0\hbox{$\omega\approx\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/5/c/8/5c8ae6444fff5c2a5465ee8482c9f604.png)
![\[Q\approx\frac{\omega_0}{2\beta}=\frac{\omega_0}{\Delta\omega_{1/2}}\]](/images/math/5/4/e/54e6f9b8bfc9819841efc7aa24ac13c1.png)