„Elektrosztatika példák - Változó vezetőképességű anyaggal töltött kocka ellenállása” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Megoldás) |
|||
(egy szerkesztő 6 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy $a$ élhosszúságú kocka anyagának vezetőképessége a magasság függvényében így változik: | + | </noinclude><wlatex>#Egy $a$ élhosszúságú kocka anyagának vezetőképessége a magasság függvényében így változik:$$\sigma = \sigma_0\cdot\frac{2a-z}{a}$$ Számítsuk ki a kocka ellenállását <br> '''a)''' az alsó és felső; <br> '''b)''' a két átellenes, oldalsó lap között.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(2\right)}{\sigma_0 a}$$ <br> '''b)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a \sigma_0}$$}} |
− | $$\sigma = \sigma_0\cdot\frac{2a-z}{a}$$ Számítsuk ki a kocka ellenállását <br> '''a)''' az alsó és felső; <br> '''b)''' a két átellenes, oldalsó lap között.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(2\right)}{\sigma_0 a}$$ <br> '''b)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a \sigma_0}$$}} | + | |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | a, A | + | a, A kontinuitási egyenlet miatt: |
− | $$j(z)\cdot a^2 = | + | $$j(z)\cdot a^2 = const. \Rightarrow j(z) = j_0$$ |
A differenciális Ohm-törvényt felírva: | A differenciális Ohm-törvényt felírva: | ||
$$j_0 = E(z)\cdot\sigma(z)$$ | $$j_0 = E(z)\cdot\sigma(z)$$ | ||
25. sor: | 24. sor: | ||
Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből: | Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből: | ||
$$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(2\right)}{\sigma_0 a}$$ | $$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(2\right)}{\sigma_0 a}$$ | ||
− | b, Ebben az esetben az áram a $z$ | + | b, Ebben az esetben az áram a vezetőképesség $z$ irányú gradiensére merőlegesen folyik. |
Mivel stacionárius áramlást nézünk, ezért igaz a hurok törvény: | Mivel stacionárius áramlást nézünk, ezért igaz a hurok törvény: | ||
$$\oint \vec{E}\cdot\vec{dl} = 0 \rightarrow E(z_1)a-E(z_2)a = 0 \rightarrow E(z_1) = E(z_2) = E_0 $$ | $$\oint \vec{E}\cdot\vec{dl} = 0 \rightarrow E(z_1)a-E(z_2)a = 0 \rightarrow E(z_1) = E(z_2) = E_0 $$ | ||
32. sor: | 31. sor: | ||
$$U = E_0\cdot a$$ | $$U = E_0\cdot a$$ | ||
Az áramsűrűség pedig a differenciális Ohm-törvény értelmében a következőképpen változik a $z$ irányban: | Az áramsűrűség pedig a differenciális Ohm-törvény értelmében a következőképpen változik a $z$ irányban: | ||
− | $$j(z) = E_0\cdot\sigma (z) =E_0 | + | $$j(z) = E_0 \cdot \sigma (z) =E_0 \sigma_0\cdot \dfrac {\left(2a-z\right)}{a} $$ |
A kockán átfolyó áramot az áramsűrűség felületi integráljaként kapjuk meg: | A kockán átfolyó áramot az áramsűrűség felületi integráljaként kapjuk meg: | ||
− | $$I = \ | + | |
+ | $$I = \int \vec{j}\cdot\vec{dA} = \int_0^a E_0 \sigma_0\cdot \dfrac{\left(2a-z\right)}{a} \cdot a\cdot dz = \frac{3}{2} a^2 E_0 \sigma_0$$ | ||
Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből: | Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből: | ||
$$R = \frac{U}{I} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a \sigma_0}$$ | $$R = \frac{U}{I} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{a \sigma_0}$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2021. március 22., 14:22-kori változata
Feladat
- Egy élhosszúságú kocka anyagának vezetőképessége a magasság függvényében így változik: Számítsuk ki a kocka ellenállását
a) az alsó és felső;
b) a két átellenes, oldalsó lap között.
Megoldás
a, A kontinuitási egyenlet miatt:
A differenciális Ohm-törvényt felírva:
amiből:
Ebből a potenciálkülönbség a két elektróda között:
Az áram pedig:
Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből:
b, Ebben az esetben az áram a vezetőképesség irányú gradiensére merőlegesen folyik. Mivel stacionárius áramlást nézünk, ezért igaz a hurok törvény:
vagyis a kockában homogén, -re merőleges elektromos tér jön létre. Ezért a potenciálkülönbség a két elektróda között:
Az áramsűrűség pedig a differenciális Ohm-törvény értelmében a következőképpen változik a irányban:
A kockán átfolyó áramot az áramsűrűség felületi integráljaként kapjuk meg:
Az ellenállás pedig adódik az Ohm-törvényből: