„Mechanika - Rezonanciák” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő:Gombkötő Kategória:Mechanika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = …”)

A lap 2012. december 10., 15:06-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Rezgések II.
Feladatok listája:
  1. Túlcsillapított rezgés
  2. Kritikus csillapítás
  3. Csillapodó rezgés periódusa
  4. Csillapodó rezgés paraméterei
  5. Rángatott rugó
  6. Rezonanciák
  7. Jósági tényező
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*6.35.) Csillapított lineáris harmonikus oszcillátort kényszerrezgésbe hozunk. A mozgás folyamán lesz olyan időpont, amikor az oszcillátor sebessége a legnagyobb. Ha megváltoztatjuk a kényszererő frekvenciáját, megváltozik a legnagyobb sebesség értéke is. Hogyan válasszuk meg a kényszerrezgés frekvenciáját, hogy ez a legnagyobb sebesség (mint a frekvencia függvénye) maximális legyen? Mekkora körfrekvenciánál legnagyobb a rezgés amplitúdója?

Megoldás

Ha
\[A(\omega)=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}}\]
függvény adja meg az állandósult rezgés amplitúdóját \setbox0\hbox{$mf_0=F_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% amplitúdójú erőgerjesztés esetén, akkor a sebessségamplitúdó \setbox0\hbox{$v_{\rm{max}(\omega)}=\omega A(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lesz, és ennek keressük a szélsőértékét. Mielőtt azonban nekiállunk deriválni ezt a kifejezést, érdemes megnézni, hogy milyen jellegű. Először is \setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értéke közömbös, tehát a továbbiakban 1-nek vesszük. Mivel mind a számláló, mind a nevezőben lévő gyökös kifejezés pozitív, kereshetjük a reciprok szélsőértékét, lévén az \setbox0\hbox{$1/x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szigorúan monoton függvény. Hasonló okokból a kérdéses tört négyzetének a szélsőértékét is kereshetjük, mivel az \setbox0\hbox{$x^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény pozitív argumentumú szakasza is szigorúan monoton. Végső soron tehát elegendő az
\[\frac1{A^2\omega^2}=\frac{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}{\omega^2}=\frac{(\omega_0^2-\omega^2)^2}{\omega^2}+4\beta^2\]
kifejezés szélsőértékét keresni. Mivel a második tag nem függ \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-tól, a szélsőérték helyét nem befolyásolja, az első tag törtje pedig mindenképp pozitív értékű, és \setbox0\hbox{$\omega=\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén éppen nulla, tehát minimális is, így ez a sebességrezonancia feltétele. Az amplitúdórezonancia helye szintén gyorsan megtalálható, ha egyből \setbox0\hbox{$\frac1{A^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szélsőértékéthelyét keressük:
\[\frac{\partial}{\partial\omega}\left((\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2 \right )=-2(\omega_0^2-\omega^2)2\omega+8\beta^2\omega=0,\]
melyből rendezéssel és egyszerűsítéssel
\[\omega^2=\omega_0^2-2\beta^2\]

/wlatex>

A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Mechanika_-_Rezonanciák&oldid=6842”