„Mechanika - Rezonanciák” változatai közötti eltérés

<wlatex>Ha $$A(\omega)=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}}$$ függvény adja meg az állandósult rezgés amplitúdóját $mf_0=F_0$ amplitúdójú erőgerjesztés esetén, akkor a sebessségamplitúdó $v_{\rm{max}(\omega)}=\omega A(w)$ lesz, és ennek keressük a szélsőértékét. Mielőtt azonban nekiállunk deriválni ezt a kifejezést, érdemes megnézni, hogy milyen jellegű. Először is $f_0$ értéke közömbös, tehát a továbbiakban 1-nek vesszük. Mivel mind a számláló, mind a nevezőben lévő gyökös kifejezés pozitív, kereshetjük a reciprok szélsőértékét, lévén az $1/x$ szigorúan monoton függvény. Hasonló okokból a kérdéses tört négyzetének a szélsőértékét is kereshetjük, mivel az $x^2$ függvény pozitív argumentumú szakasza is szigorúan monoton. Végső soron tehát elegendő az $$\frac1{A^2\omega^2}=\frac{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}{\omega^2}=\frac{(\omega_0^2-\omega^2)^2}{\omega^2}+4\beta^2$$ kifejezés szélsőértékét keresni. Mivel a második tag nem függ $\omega$-tól, a szélsőérték helyét nem befolyásolja, az első tag törtje pedig mindenképp pozitív értékű, és $\omega=\omega_0$ esetén éppen nulla, tehát minimális is, így ez a sebességrezonancia feltétele. Az amplitúdórezonancia helye szintén gyorsan megtalálható, ha egyből $\frac1{A^2}$ szélsőértékéthelyét keressük: $$\frac{\partial}{\partial\omega}\left((\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2 \right )=-2(\omega_0^2-\omega^2)2\omega+8\beta^2\omega=0,$$ melyből rendezéssel és egyszerűsítéssel $$\omega^2=\omega_0^2-2\beta^2$$</wlatex>