„Mechanika - Rezonanciák” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő:Gombkötő Kategória:Mechanika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = …”) |
|||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
10. sor: | 10. sor: | ||
</noinclude><wlatex># (*6.35.) Csillapított lineáris harmonikus oszcillátort kényszerrezgésbe hozunk. A mozgás folyamán lesz olyan időpont, amikor az oszcillátor sebessége a legnagyobb. Ha megváltoztatjuk a kényszererő frekvenciáját, megváltozik a legnagyobb sebesség értéke is. Hogyan válasszuk meg a kényszerrezgés frekvenciáját, hogy ez a legnagyobb sebesség (mint a frekvencia függvénye) maximális legyen? Mekkora körfrekvenciánál legnagyobb a rezgés amplitúdója?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\omega=\omega_0$$ $$\omega^2=\omega_0^2-2\beta^2$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># (*6.35.) Csillapított lineáris harmonikus oszcillátort kényszerrezgésbe hozunk. A mozgás folyamán lesz olyan időpont, amikor az oszcillátor sebessége a legnagyobb. Ha megváltoztatjuk a kényszererő frekvenciáját, megváltozik a legnagyobb sebesség értéke is. Hogyan válasszuk meg a kényszerrezgés frekvenciáját, hogy ez a legnagyobb sebesség (mint a frekvencia függvénye) maximális legyen? Mekkora körfrekvenciánál legnagyobb a rezgés amplitúdója?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\omega=\omega_0$$ $$\omega^2=\omega_0^2-2\beta^2$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>Ha $$A(\omega)=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}}$$ függvény adja meg az állandósult rezgés amplitúdóját $mf_0=F_0$ amplitúdójú erőgerjesztés esetén, akkor a sebessségamplitúdó $v_{\rm{max}(\omega)}=\omega A(w)$ lesz, és ennek keressük a szélsőértékét. Mielőtt azonban nekiállunk deriválni ezt a kifejezést, érdemes megnézni, hogy milyen jellegű. Először is $f_0$ értéke közömbös, tehát a továbbiakban 1-nek vesszük. Mivel mind a számláló, mind a nevezőben lévő gyökös kifejezés pozitív, kereshetjük a reciprok szélsőértékét, lévén az $1/x$ szigorúan monoton függvény. Hasonló okokból a kérdéses tört négyzetének a szélsőértékét is kereshetjük, mivel az $x^2$ függvény pozitív argumentumú szakasza is szigorúan monoton. Végső soron tehát elegendő az $$\frac1{A^2\omega^2}=\frac{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}{\omega^2}=\frac{(\omega_0^2-\omega^2)^2}{\omega^2}+4\beta^2$$ kifejezés szélsőértékét keresni. Mivel a második tag nem függ $\omega$-tól, a szélsőérték helyét nem befolyásolja, az első tag törtje pedig mindenképp pozitív értékű, és $\omega=\omega_0$ esetén éppen nulla, tehát minimális is, így ez a sebességrezonancia feltétele. Az amplitúdórezonancia helye szintén gyorsan megtalálható, ha egyből $\frac1{A^2}$ szélsőértékéthelyét keressük: $$\frac{\partial}{\partial\omega}\left((\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2 \right )=-2(\omega_0^2-\omega^2)2\omega+8\beta^2\omega=0,$$ melyből rendezéssel és egyszerűsítéssel $$\omega^2=\omega_0^2-2\beta^2$$ | + | <wlatex>Ha $$A(\omega)=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}}$$ függvény adja meg az állandósult rezgés amplitúdóját $mf_0=F_0$ amplitúdójú erőgerjesztés esetén, akkor a sebessségamplitúdó $v_{\rm{max}(\omega)}=\omega A(w)$ lesz, és ennek keressük a szélsőértékét. Mielőtt azonban nekiállunk deriválni ezt a kifejezést, érdemes megnézni, hogy milyen jellegű. Először is $f_0$ értéke közömbös, tehát a továbbiakban 1-nek vesszük. Mivel mind a számláló, mind a nevezőben lévő gyökös kifejezés pozitív, kereshetjük a reciprok szélsőértékét, lévén az $1/x$ szigorúan monoton függvény. Hasonló okokból a kérdéses tört négyzetének a szélsőértékét is kereshetjük, mivel az $x^2$ függvény pozitív argumentumú szakasza is szigorúan monoton. Végső soron tehát elegendő az $$\frac1{A^2\omega^2}=\frac{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}{\omega^2}=\frac{(\omega_0^2-\omega^2)^2}{\omega^2}+4\beta^2$$ kifejezés szélsőértékét keresni. Mivel a második tag nem függ $\omega$-tól, a szélsőérték helyét nem befolyásolja, az első tag törtje pedig mindenképp pozitív értékű, és $\omega=\omega_0$ esetén éppen nulla, tehát minimális is, így ez a sebességrezonancia feltétele. Az amplitúdórezonancia helye szintén gyorsan megtalálható, ha egyből $\frac1{A^2}$ szélsőértékéthelyét keressük: $$\frac{\partial}{\partial\omega}\left((\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2 \right )=-2(\omega_0^2-\omega^2)2\omega+8\beta^2\omega=0,$$ melyből rendezéssel és egyszerűsítéssel $$\omega^2=\omega_0^2-2\beta^2$$</wlatex> |
− | </wlatex> | + | |
</noinclude> | </noinclude> | ||
− |
A lap jelenlegi, 2012. december 10., 16:11-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika gyakorlat 1. |
Gyakorlatok listája: |
Mechanika - Rezgések II. |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- (*6.35.) Csillapított lineáris harmonikus oszcillátort kényszerrezgésbe hozunk. A mozgás folyamán lesz olyan időpont, amikor az oszcillátor sebessége a legnagyobb. Ha megváltoztatjuk a kényszererő frekvenciáját, megváltozik a legnagyobb sebesség értéke is. Hogyan válasszuk meg a kényszerrezgés frekvenciáját, hogy ez a legnagyobb sebesség (mint a frekvencia függvénye) maximális legyen? Mekkora körfrekvenciánál legnagyobb a rezgés amplitúdója?
Megoldás
Ha![\[A(\omega)=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}}\]](/images/math/1/1/7/1172cb5ada9c8add420dfe116ad7de4b.png)
![\setbox0\hbox{$mf_0=F_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/3/2/1322813f4febb5e8b4af3e193a8d076f.png)
![\setbox0\hbox{$v_{\rm{max}(\omega)}=\omega A(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/c/4/2c4080098770500b2091b4a11c21c70c.png)
![\setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/2/3/e2397715416e86a8d68174643facb1e5.png)
![\setbox0\hbox{$1/x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/c/3/bc3138a9c5929876defbd3bee4f42675.png)
![\setbox0\hbox{$x^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/4/5/e/45e8d993bce4e3883f578dcf581dbf9d.png)
![\[\frac1{A^2\omega^2}=\frac{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}{\omega^2}=\frac{(\omega_0^2-\omega^2)^2}{\omega^2}+4\beta^2\]](/images/math/3/d/1/3d13bb461e9355ae17928fdb2326ace0.png)
![\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/0/8/b0846178f5f6c7380d8c80725e5869f7.png)
![\setbox0\hbox{$\omega=\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/1/3/7/137f0e74f09bdaed2cf8837cbf637111.png)
![\setbox0\hbox{$\frac1{A^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/f/1/bf13e5bbc20c794f3815c09720a13c2a.png)
![\[\frac{\partial}{\partial\omega}\left((\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2 \right )=-2(\omega_0^2-\omega^2)2\omega+8\beta^2\omega=0,\]](/images/math/8/5/2/852af2e62fc82c26973e56f5d3853889.png)
![\[\omega^2=\omega_0^2-2\beta^2\]](/images/math/8/c/2/8c2ca743a8704a5982c1076cd2281edc.png)