„Pontrendszerek - 3.1.14” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (→Feladat) |
|||
| (egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># (3.1.14) Egy súrlódásmentes asztalon $\alpha$ hajlásszögű | + | </noinclude><wlatex># (*3.1.14) Egy súrlódásmentes asztalon $\alpha$ hajlásszögű, $M$ tömegű lejtő van, amelynek alapja $l$ hosszú. A lejtő tetején egy $m$ tömegű test van. Mekkora távolságra mozdul el a lejtő azalatt míg a test a lejtő aljára csúszik le? |
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Gondold végig, hogy milyen (irányú) külső erők hatnak a rendszerre!}}{{Végeredmény|content=$$d=\frac{m}{m+M}l$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Gondold végig, hogy milyen (irányú) külső erők hatnak a rendszerre!}}{{Végeredmény|content=$$d=\frac{m}{m+M}l$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>#: Rögzítsük a vonatkoztatási rendszert úgy, hogy az $x$- és $y$- tengelyek a lejtő egymásra merőleges oldalaira illeszkednek. Jelöljük $x_{M}$-mel a lejtő tömegközéppontját, amelyet bizonyos esetekben meg is tudnánk határozni, azonban a számolás során nem lesz szükség a pontos értékére. A teljes rendszer tömegközéppontja $$x_{\mathrm{TKP}}=\frac{0\cdot m+ x_{M} M}{m+M}\,,$$ amely a mozgás során nem változik, hiszen nincs súrlódás az asztal és a lejtő között, így nem hat semmilyen vízszintes irányú külső erő a rendszerre. Ha a lecsúszás után a lejtő $d$ távolságra tolódott el negatív irányba, akkor a rajta lévő $m$ tömegű test az $l-d$ pozícióba kerül. A végállapotban a tömegközéppont helye $$x_{\mathrm{TKP}}=\frac{m(l-d)+M\left(x_{M}-d\right)}{m+M}\,.$$ A két egyenletet összevetve $$d=\frac{m}{m+M}l$$ adódik függetlenül attól, hogy a lejtő homogén-e vagy sem. <br> <br> Megjegyzés: Homogén lejtő esetén ki lehetne számolni a lejtő tömegközéppontjának helyzetét az alábbi számolás szerint. A kezdeti állapotban $$x_{M}=\frac{1}{M}\int_{0}^{l}\int_{0}^{l\,\mbox{tg}\,\alpha\left(1-\frac{x}{l}\right)}\rho(x,y) x dy dx\,,$$ ahol $\rho(x,y)$ a lejtő sűrűsége. Homogén lejtő esetén $$\rho(x,y)=\frac{2M}{l^{2}\,\mbox{tg}\,\alpha}\,.$$ Így a lejtő tömegközéppontja az $$x_{M}=\frac{l}{3}$$ helyen van. | <wlatex>#: Rögzítsük a vonatkoztatási rendszert úgy, hogy az $x$- és $y$- tengelyek a lejtő egymásra merőleges oldalaira illeszkednek. Jelöljük $x_{M}$-mel a lejtő tömegközéppontját, amelyet bizonyos esetekben meg is tudnánk határozni, azonban a számolás során nem lesz szükség a pontos értékére. A teljes rendszer tömegközéppontja $$x_{\mathrm{TKP}}=\frac{0\cdot m+ x_{M} M}{m+M}\,,$$ amely a mozgás során nem változik, hiszen nincs súrlódás az asztal és a lejtő között, így nem hat semmilyen vízszintes irányú külső erő a rendszerre. Ha a lecsúszás után a lejtő $d$ távolságra tolódott el negatív irányba, akkor a rajta lévő $m$ tömegű test az $l-d$ pozícióba kerül. A végállapotban a tömegközéppont helye $$x_{\mathrm{TKP}}=\frac{m(l-d)+M\left(x_{M}-d\right)}{m+M}\,.$$ A két egyenletet összevetve $$d=\frac{m}{m+M}l$$ adódik függetlenül attól, hogy a lejtő homogén-e vagy sem. <br> <br> Megjegyzés: Homogén lejtő esetén ki lehetne számolni a lejtő tömegközéppontjának helyzetét az alábbi számolás szerint. A kezdeti állapotban $$x_{M}=\frac{1}{M}\int_{0}^{l}\int_{0}^{l\,\mbox{tg}\,\alpha\left(1-\frac{x}{l}\right)}\rho(x,y) x dy dx\,,$$ ahol $\rho(x,y)$ a lejtő sűrűsége. Homogén lejtő esetén $$\rho(x,y)=\frac{2M}{l^{2}\,\mbox{tg}\,\alpha}\,.$$ Így a lejtő tömegközéppontja az $$x_{M}=\frac{l}{3}$$ helyen van. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2014. január 9., 15:38-kori változata
Feladat
- (*3.1.14) Egy súrlódásmentes asztalon
hajlásszögű, 
tömegű lejtő van, amelynek alapja 
hosszú. A lejtő tetején egy 
tömegű test van. Mekkora távolságra mozdul el a lejtő azalatt míg a test a lejtő aljára csúszik le?
Megoldás
- Rögzítsük a vonatkoztatási rendszert úgy, hogy az
- és 
- tengelyek a lejtő egymásra merőleges oldalaira illeszkednek. Jelöljük 
-mel a lejtő tömegközéppontját, amelyet bizonyos esetekben meg is tudnánk határozni, azonban a számolás során nem lesz szükség a pontos értékére. A teljes rendszer tömegközéppontja amely a mozgás során nem változik, hiszen nincs súrlódás az asztal és a lejtő között, így nem hat semmilyen vízszintes irányú külső erő a rendszerre. Ha a lecsúszás után a lejtő![\[x_{\mathrm{TKP}}=\frac{0\cdot m+ x_{M} M}{m+M}\,,\]](/images/math/9/a/1/9a19db904683ce17ad5c3d4fb403fd07.png)
távolságra tolódott el negatív irányba, akkor a rajta lévő tömegű test az 
pozícióba kerül. A végállapotban a tömegközéppont helye A két egyenletet összevetve![\[x_{\mathrm{TKP}}=\frac{m(l-d)+M\left(x_{M}-d\right)}{m+M}\,.\]](/images/math/4/a/7/4a74fa58d10b2ed7304b97f7fd981d06.png)
adódik függetlenül attól, hogy a lejtő homogén-e vagy sem.![\[d=\frac{m}{m+M}l\]](/images/math/7/9/3/79347b10fe7ff34d47474eda1e446f78.png)
Megjegyzés: Homogén lejtő esetén ki lehetne számolni a lejtő tömegközéppontjának helyzetét az alábbi számolás szerint. A kezdeti állapotbanahol![\[x_{M}=\frac{1}{M}\int_{0}^{l}\int_{0}^{l\,\mbox{tg}\,\alpha\left(1-\frac{x}{l}\right)}\rho(x,y) x dy dx\,,\]](/images/math/f/8/9/f89a5e7a3b24e344537fa1f6d054e94f.png)
a lejtő sűrűsége. Homogén lejtő esetén Így a lejtő tömegközéppontja az![\[\rho(x,y)=\frac{2M}{l^{2}\,\mbox{tg}\,\alpha}\,.\]](/images/math/2/9/f/29f0251c4b0002b57d7559d75cb49012.png)
helyen van.![\[x_{M}=\frac{l}{3}\]](/images/math/c/f/9/cf9b3e58994feb07cde3d18b97c349dd.png)
- Rögzítsük a vonatkoztatási rendszert úgy, hogy az
