„Pontrendszerek - 3.1.3” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (→Feladat) |
|||
| (2 szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># (3.1.3) Egy mozgó csigára egy $m_{2}$ tömegű testet függesztünk. A mozgó csigát tartó fonál egyik végét állványhoz erősítjük, másik végét álló csigán átvezetve $m_{1}$ tömeghez kötjük. | + | </noinclude><wlatex># (*3.1.3) Egy mozgó csigára egy $m_{2}$ tömegű testet függesztünk. A mozgó csigát tartó fonál egyik végét állványhoz erősítjük, másik végét álló csigán átvezetve $m_{1}$ tömeghez kötjük. Határozzuk meg az $m_{1}$, ill. $m_{2}$ tömegek gyorsulását! A csigák és a fonál tömegétől, valamint a súrlódástól eltekintünk.[[Kép:3.1.3.svg|none|255px]] </wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Írjuk fel a testekre és a csigákra vonatkozó mozgásegyenleteket!}}{{Végeredmény|content= $$a=\frac{4m_{1}-2m_{2}}{4m_{1}+m_{2}}g$$ }}</wlatex></includeonly><noinclude> |
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>#: A csigákra és a testekre ható erők az ábrán láthatók. [[Kép:3.1.3M.svg|none|250px]] Az állócsiga jobb oldalán ható, kötél által kifejtett erő Newton III. törvénye miatt egyezik meg az $m_{1}$ tömegű testre ható kötélerővel. Az állócsiga bal oldalán ható, kötél által kifejtett erő azért egyezik meg a jobb oldalon ható $K$ erővel, mert a kettő forgatónyomatékának ki kell egyenlítenie egymást. Ez annak a következménye, hogy a csiga tömege zérus, így a tehetetlenségi nyomatéka is zérus, így a forgásokra vonatkozó Newton törvény értelmében az eredő forgatónyomaték is $M_{e}=\Theta\beta=0$ annak ellenére, hogy szöggyorsulása nem $0$. A mozgó csiga jobb oldalán ható, a kötél által kifejtett erő is $K$ nagyságú, mert az az állócsiga bal oldalán ható erő ellenereje. A mozgócsiga tengelyén ható erő $2K$, mert a bal oldalán lévő felfüggesztési pontot tekintve forgástengelynek a csigára ható eredő forgatónyomatéknak zérusnak kell lennie. A csigákra ható erőket a felfüggesztési pontokban a következő megfontolás alapján határoztuk meg. A csigák tömege zérus, ezért a rájuk ható erők eredője is $0$ kell, hogy legyen. Így a felfüggesztési pontokban kifejtett erőnek ki kell egyensúlyoznia a többi erőt. <br> A fenti érvelésben fontos szerepet játszott az a tény, hogy a csigák és a fonál tömegét elhanyagoltuk, valamint, hogy a fonal nyújthatatlan. A nyújthatatlanságnak az is a következménye, hogy ha az $m_{1}$ tömegű test lefelé gyorsul egy $a$ nagyságú gyorsulással, akkor az $m_{2}$ tömegű test felfelé gyorsul $a/2$ nagyságú gyorsulással. A rájuk vonatkozó mozgásegyenletek: $$m_{1}a=m_{1}g-K$$ $$m_{2}\frac{a}{2}=2K-m_{2}g$$ Az egyenletrendszert megoldva $$a=\frac{4m_{1}-2m_{2}}{4m_{1}+m_{2}}g\,.$$ A mozgás irányát persze a tömegek aránya határozza meg. Ha $2m_{1}>m_{2}$, akkor az $m_{1}$ tömegű test fog $a$ gyorsulással lefelé, az $m_{2}$ tömegű pedig $a/2$-vel felfelé haladni. Fordított esetben ellenkező irányban történik a mozgás. | <wlatex>#: A csigákra és a testekre ható erők az ábrán láthatók. [[Kép:3.1.3M.svg|none|250px]] Az állócsiga jobb oldalán ható, kötél által kifejtett erő Newton III. törvénye miatt egyezik meg az $m_{1}$ tömegű testre ható kötélerővel. Az állócsiga bal oldalán ható, kötél által kifejtett erő azért egyezik meg a jobb oldalon ható $K$ erővel, mert a kettő forgatónyomatékának ki kell egyenlítenie egymást. Ez annak a következménye, hogy a csiga tömege zérus, így a tehetetlenségi nyomatéka is zérus, így a forgásokra vonatkozó Newton törvény értelmében az eredő forgatónyomaték is $M_{e}=\Theta\beta=0$ annak ellenére, hogy szöggyorsulása nem $0$. A mozgó csiga jobb oldalán ható, a kötél által kifejtett erő is $K$ nagyságú, mert az az állócsiga bal oldalán ható erő ellenereje. A mozgócsiga tengelyén ható erő $2K$, mert a bal oldalán lévő felfüggesztési pontot tekintve forgástengelynek a csigára ható eredő forgatónyomatéknak zérusnak kell lennie. A csigákra ható erőket a felfüggesztési pontokban a következő megfontolás alapján határoztuk meg. A csigák tömege zérus, ezért a rájuk ható erők eredője is $0$ kell, hogy legyen. Így a felfüggesztési pontokban kifejtett erőnek ki kell egyensúlyoznia a többi erőt. <br> A fenti érvelésben fontos szerepet játszott az a tény, hogy a csigák és a fonál tömegét elhanyagoltuk, valamint, hogy a fonal nyújthatatlan. A nyújthatatlanságnak az is a következménye, hogy ha az $m_{1}$ tömegű test lefelé gyorsul egy $a$ nagyságú gyorsulással, akkor az $m_{2}$ tömegű test felfelé gyorsul $a/2$ nagyságú gyorsulással. A rájuk vonatkozó mozgásegyenletek: $$m_{1}a=m_{1}g-K$$ $$m_{2}\frac{a}{2}=2K-m_{2}g$$ Az egyenletrendszert megoldva $$a=\frac{4m_{1}-2m_{2}}{4m_{1}+m_{2}}g\,.$$ A mozgás irányát persze a tömegek aránya határozza meg. Ha $2m_{1}>m_{2}$, akkor az $m_{1}$ tömegű test fog $a$ gyorsulással lefelé, az $m_{2}$ tömegű pedig $a/2$-vel felfelé haladni. Fordított esetben ellenkező irányban történik a mozgás. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2014. január 9., 15:37-kori változata
Feladat
- (*3.1.3) Egy mozgó csigára egy
tömegű testet függesztünk. A mozgó csigát tartó fonál egyik végét állványhoz erősítjük, másik végét álló csigán átvezetve 
tömeghez kötjük. Határozzuk meg az , ill. tömegek gyorsulását! A csigák és a fonál tömegétől, valamint a súrlódástól eltekintünk.
Megoldás
- A csigákra és a testekre ható erők az ábrán láthatók. Az állócsiga jobb oldalán ható, kötél által kifejtett erő Newton III. törvénye miatt egyezik meg az
tömegű testre ható kötélerővel. Az állócsiga bal oldalán ható, kötél által kifejtett erő azért egyezik meg a jobb oldalon ható 
erővel, mert a kettő forgatónyomatékának ki kell egyenlítenie egymást. Ez annak a következménye, hogy a csiga tömege zérus, így a tehetetlenségi nyomatéka is zérus, így a forgásokra vonatkozó Newton törvény értelmében az eredő forgatónyomaték is 
annak ellenére, hogy szöggyorsulása nem 
. A mozgó csiga jobb oldalán ható, a kötél által kifejtett erő is nagyságú, mert az az állócsiga bal oldalán ható erő ellenereje. A mozgócsiga tengelyén ható erő 
, mert a bal oldalán lévő felfüggesztési pontot tekintve forgástengelynek a csigára ható eredő forgatónyomatéknak zérusnak kell lennie. A csigákra ható erőket a felfüggesztési pontokban a következő megfontolás alapján határoztuk meg. A csigák tömege zérus, ezért a rájuk ható erők eredője is kell, hogy legyen. Így a felfüggesztési pontokban kifejtett erőnek ki kell egyensúlyoznia a többi erőt.
A fenti érvelésben fontos szerepet játszott az a tény, hogy a csigák és a fonál tömegét elhanyagoltuk, valamint, hogy a fonal nyújthatatlan. A nyújthatatlanságnak az is a következménye, hogy ha az tömegű test lefelé gyorsul egy 
nagyságú gyorsulással, akkor az tömegű test felfelé gyorsul 
nagyságú gyorsulással. A rájuk vonatkozó mozgásegyenletek: ![\[m_{1}a=m_{1}g-K\]](/images/math/e/2/3/e23839fbeb3f051da6548c79812a78e7.png)
Az egyenletrendszert megoldva![\[m_{2}\frac{a}{2}=2K-m_{2}g\]](/images/math/e/e/9/ee91d3b9acea61b84c83126867a2975a.png)
A mozgás irányát persze a tömegek aránya határozza meg. Ha![\[a=\frac{4m_{1}-2m_{2}}{4m_{1}+m_{2}}g\,.\]](/images/math/d/5/4/d541344d8b70a8899ce9a73f5b525f45.png)
, akkor az tömegű test fog gyorsulással lefelé, az tömegű pedig -vel felfelé haladni. Fordított esetben ellenkező irányban történik a mozgás.
- A csigákra és a testekre ható erők az ábrán láthatók.
