„Elektrosztatika példák - Vezető anyaggal töltött kondenzátor ellenállása” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
(→Megoldás) |
||
(2 szerkesztő 9 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Számítsuk ki az <br> '''a)''' $a$ és $b$ sugarú gömblemezekből álló $(a<b)$, $\sigma$ vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill. <br> '''b)''' az $L$ | + | </noinclude><wlatex>#Számítsuk ki az <br> '''a)''' $a$ és $b$ sugarú gömblemezekből álló $(a<b)$, $\sigma$ vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill. <br> '''b)''' az $L$ hosszúságú, $a$ és $b$ sugarú, fegyverzetekből álló, $\sigma$ vezetőképességű közeggel kitöltött hengerkondenzátor $(L>>b)$ $R$ ellenállását! <br> A fegyverzetek közti feszültség mindkét esetben időben állandó!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content='''a)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}$$ <br> '''b)''' $$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2 \pi L\sigma}$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
+ | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | a, A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz | + | a, Mivel a kondenzátor lemezei közti feszültség --- és így a lemezeken jelen lévő töltés nagysága is --- időben állandó, a fegyverzetek közt folyó áram stacionárius. A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. A Gauss tétel egy $r$ sugarú koncentrikus gömbre: |
$$E\cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}$$ | $$E\cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}$$ | ||
$$E = \frac{Q}{4\pi r^2 \epsilon_0}$$ | $$E = \frac{Q}{4\pi r^2 \epsilon_0}$$ | ||
18. sor: | 19. sor: | ||
$$U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$$ | $$U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$$ | ||
A differenciális Ohm-törvény alapján a gömbben folyó áramsűrűség nagysága: | A differenciális Ohm-törvény alapján a gömbben folyó áramsűrűség nagysága: | ||
− | $$j = \sigma\cdot E$$ | + | $$\vec{j} = \sigma\cdot \vec{E}$$ |
$$j = \frac{\sigma Q}{4 \pi r^2 \epsilon_0}$$ | $$j = \frac{\sigma Q}{4 \pi r^2 \epsilon_0}$$ | ||
amely áramsűrűséget az $r$ sugarú gömbfelületen integrálva megkapjuk a gömbhéjak között folyó áramot: | amely áramsűrűséget az $r$ sugarú gömbfelületen integrálva megkapjuk a gömbhéjak között folyó áramot: | ||
− | $$I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}$$ | + | $$I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \sigma \iint \vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}$$ |
Ebből az Ohm-törvény alapján a gömb ellenállása: | Ebből az Ohm-törvény alapján a gömb ellenállása: | ||
$$R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}$$ | $$R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}$$ | ||
− | b, | + | b, Henger esetén: |
$$E\cdot 2 \pi r L = \frac{Q}{\epsilon_0}$$ | $$E\cdot 2 \pi r L = \frac{Q}{\epsilon_0}$$ | ||
$$E = \frac{Q}{4\pi r L \epsilon_0}$$ | $$E = \frac{Q}{4\pi r L \epsilon_0}$$ | ||
− | + | amiből a hengerek közötti potenciálkülönbség: | |
$$U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{2\pi\epsilon_0 L}\cdot\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$ | $$U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{2\pi\epsilon_0 L}\cdot\ln\left(\frac{b}{a}\right)$$ | ||
A differenciális Ohm-törvény alapján a hengerben folyó áramsűrűség: | A differenciális Ohm-törvény alapján a hengerben folyó áramsűrűség: | ||
$$\vec{j} = \sigma\cdot\vec{E}$$ | $$\vec{j} = \sigma\cdot\vec{E}$$ | ||
$$\vec{j} = \frac{\sigma Q}{2 \pi r L \epsilon_0}$$ | $$\vec{j} = \frac{\sigma Q}{2 \pi r L \epsilon_0}$$ | ||
− | + | amely áramsűrűséget az $r$ sugarú hengerfelületen integrálva megkapjuk a hengerek között folyó áramot: | |
− | $$I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}$$ | + | $$I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \sigma \iint \vec{E}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}$$ |
Ebből az Ohm-törvény alapján a henger ellenállása: | Ebből az Ohm-törvény alapján a henger ellenállása: | ||
$$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2 \pi L\sigma}$$ | $$R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2 \pi L\sigma}$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2021. március 22., 14:22-kori változata
Feladat
- Számítsuk ki az
a) és sugarú gömblemezekből álló , vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill.
b) az hosszúságú, és sugarú, fegyverzetekből álló, vezetőképességű közeggel kitöltött hengerkondenzátor ellenállását!
A fegyverzetek közti feszültség mindkét esetben időben állandó!
Megoldás
a, Mivel a kondenzátor lemezei közti feszültség --- és így a lemezeken jelen lévő töltés nagysága is --- időben állandó, a fegyverzetek közt folyó áram stacionárius. A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. A Gauss tétel egy sugarú koncentrikus gömbre:
amiből a gömbök közötti potenciálkülönbség:
A differenciális Ohm-törvény alapján a gömbben folyó áramsűrűség nagysága:
amely áramsűrűséget az sugarú gömbfelületen integrálva megkapjuk a gömbhéjak között folyó áramot:
Ebből az Ohm-törvény alapján a gömb ellenállása:
b, Henger esetén:
amiből a hengerek közötti potenciálkülönbség:
A differenciális Ohm-törvény alapján a hengerben folyó áramsűrűség:
amely áramsűrűséget az sugarú hengerfelületen integrálva megkapjuk a hengerek között folyó áramot:
Ebből az Ohm-törvény alapján a henger ellenállása: