„Mechanika - Súrlódó tárcsák” változatai közötti eltérés

A lap 2012. november 21., 14:58-kori változata (lapforrás) Gombkoto (vitalap | szerkesztései) ← Régebbi szerkesztés		A lap jelenlegi, 2014. október 28., 12:43-kori változata (lapforrás) Werner (vitalap | szerkesztései) a
(2 szerkesztő 10 közbeeső változata nincs mutatva)
8. sor:		8. sor:
	}}		}}
	== Feladat ==		== Feladat ==
−	</noinclude><wlatex># (*3.2.16.) Egymással párhuzamosan elhelyezkedő tengely körül foroghat egy $m_1$ és egy $m_2$ tömegű tárcsa, melyek sugarai rendre $R_1$ és $R_2$. Az $R_1$ sugarú tárcsát $\omega _0$ szögsebességgel megforgatjuk, majd az álló $R_2$ sugarú tárcsához nyomjuk $F$ erővel. A tárcsák érintkező felületei között a súrlódási együttható $\mu$. ÁBRA	+	</noinclude><wlatex># (*3.2.16.) Egymással párhuzamosan elhelyezkedő tengely körül foroghat egy $m_1$ és egy $m_2$ tömegű tárcsa, melyek sugarai rendre $R_1$ és $R_2$. Az $R_1$ sugarú tárcsát $\omega _0$ szögsebességgel megforgatjuk, majd az álló $R_2$ sugarú tárcsához nyomjuk $F$ erővel. A tárcsák érintkező felületei között a súrlódási együttható $\mu$. [[Kép:3.2.16.svg|none|300px]]
	#: a) Mennyi idő alatt érik el az együttforgás állapotát, és mekkora szögsebességgel forognak ekkor?		#: a) Mennyi idő alatt érik el az együttforgás állapotát, és mekkora szögsebességgel forognak ekkor?
	#: b) Milyen értékűvé válik ez idő alatt a rendszer kinetikus energiája?		#: b) Milyen értékűvé válik ez idő alatt a rendszer kinetikus energiája?
−	#: c) Ellenőrizze az eredő impulzusmomentum megmaradását! Mi a megmaradás feltétele?	+	#: c) Ellenőrizze az eredő impulzusmomentumot és annak változását. Mi okozza a változást?
−	#: d) Milyen súrlódási tényező lenne energiatakarékosság szempontjából gazdaságos?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Határozzuk meg a szüggyörsulásokat, majd vizsgáljuk meg, hogy mikor válnak egyenlővé a kerületi sebességek.}}{{Végeredmény|content=$$t=\frac{\omega_0R_1m_1m_2}{2\mu F(m_1+m_2)}$$ $$\omega_1=\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}$$ $$\omega_2=\omega_0\frac{R_1}{R_2}\frac{m_1}{m_1+m_2}$}}$$ $$E=\frac14\omega_0R_1\frac{m_1}{m_1+m_2}(m_1R_1+m_2R_2)$$ $$\Delta L=\frac12\frac{m_1m_2\omega_0(R_2R_1-R_1^2)}{m_1+m_2}$$ Ez csak azonos sugarak esetén nulla. A súrlódási együttható teszőleges nem nulla érték lehet.}}</wlatex></includeonly><noinclude>	+	#: d) Milyen súrlódási tényező lenne energiatakarékosság szempontjából gazdaságos?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Határozzuk meg a szöggyorsulásokat, majd vizsgáljuk meg, hogy mikor válnak egyenlővé a kerületi sebességek.}}{{Végeredmény|content=$$t=\frac{\omega_0R_1m_1m_2}{2\mu F(m_1+m_2)}$$ $$\omega_1=\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}$$ $$\omega_2=\omega_0\frac{R_1}{R_2}\frac{m_1}{m_1+m_2}$$ $$E=\frac14\omega_0R_1\frac{m_1}{m_1+m_2}(m_1R_1+m_2R_2)$$ $$\Delta L=\frac12\frac{m_1m_2\omega_0(R_2R_1-R_1^2)}{m_1+m_2}$$ Ez csak azonos sugarak esetén nulla. A súrlódási együttható teszőleges nem nulla érték lehet.}}</wlatex></includeonly><noinclude>
		+
	== Megoldás ==		== Megoldás ==
−	<wlatex>Mivel csúszási súrlódási erő hat, ennek nagysága ismert $F_s=\mu F$, és a két tárcsa közötti kölcsönhatást erőpárban valósítja meg a III. axióma szerint. Ezen erők nyomatéka a tárcsákon mindaddig hat, amíg az együttforgás be nem áll, azaz a tárcsák kerületi sebessége azonos nem lesz. Ekkor a csúszás megszűnik, és az együttforgás nulla tapadási súrlódási erővel fenntartható. A mozgásegyenletek: $$\theta_1\beta_1=-F_sR_1$$ illetve $$\theta_2\beta_2=+F_sR_2,$$ így a szöggyorsulások $\beta_1=-\frac{2 \mu F}{m_1R_1}$ és $\beta_2=\frac{2 \mu F}{m_2R_2}$. Ezzel a kerületi sebességek $$v_1(t)=R_1 (\omega_0+\beta_1t)$$ és $$v_2(t)=R_2 (\beta_2t),$$ melyek egyenlővé téve megadják a közös forgás létrejöttének idejét $$t=\frac{\omega_0R_1m_1m_2}{2\mu F(m_1+m_2)}$$ Ezt visszahelyettesítve kapjuk a szögsebességeket ebben az állapotban: $\omega_1=\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}$ és $\omega_2=\omega_0\frac{R_1}{R_2}\frac{m_1}{m_1+m_2}$. Érdemes megjegyezni, hogy bár a beállás ideje függ a súrlódási együtthatótól, a végállapot maga nem, tehát energetikailag a súrlódási együttható értéke ($\mu=0$-t kivéve) közömbös! A mozgási energia: $$E=\frac14\omega_0R_1\frac{m_1}{m_1+m_2}(m_1R_1+m_2R_2),$$ az impulzusmomentum pedig $$L=\frac12\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}(m_1R_1^2+m_2R_1R_2),$$ amely nem egyezik a kezdeti $$L_0=\frac12m_1R_1^2\omega_0$$ értékkel. Az impulzusmomentum megváltozását képezhetjük e kettő különbségéből, vagy a $\Delta L=\dot Lt$ összefüggéssel felhasználva, hogy $$\dot L=M_1+M_2=F_s(R_2-R_1),$$ így $$\Delta L=\frac12\frac{m_1m_2\omega_0(R_2R_1-R_1^2)}{m_1+m_2}$$ Látható, hogy az impulzusmomentum csak akkor marad meg, ha a tárcsák sugara azonos, így a belső (ez esetben súrlódási) erők eredő nyomatéka is nulla.</wlatex>	+	<wlatex> Mivel csúszási súrlódási erő hat, ennek nagysága ismert $F_s=\mu F$, és a két tárcsa közötti kölcsönhatást erőpárban valósítja meg a III. axióma szerint. Ezen erők nyomatéka a tárcsákon mindaddig hat, amíg az együttforgás be nem áll, azaz a tárcsák kerületi sebessége azonos nem lesz. Ekkor a csúszás megszűnik, és az együttforgás nulla tapadási súrlódási erővel fenntartható. A mozgásegyenletek: $$\theta_1\beta_1=-F_sR_1$$ illetve $$\theta_2\beta_2=+F_sR_2,$$ így a szöggyorsulások $\beta_1=-\frac{2 \mu F}{m_1R_1}$ és $\beta_2=\frac{2 \mu F}{m_2R_2}$. Ezzel a kerületi sebességek $$v_1(t)=R_1 (\omega_0+\beta_1t)$$ és $$v_2(t)=R_2 (\beta_2t),$$ melyek egyenlővé téve megadják a közös forgás létrejöttének idejét $$t=\frac{\omega_0R_1m_1m_2}{2\mu F(m_1+m_2)}$$ Ezt visszahelyettesítve kapjuk a szögsebességeket ebben az állapotban: $\omega_1=\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}$ és $\omega_2=\omega_0\frac{R_1}{R_2}\frac{m_1}{m_1+m_2}$. Érdemes megjegyezni, hogy bár a beállás ideje függ a súrlódási együtthatótól, a végállapot maga nem, tehát energetikailag a súrlódási együttható értéke ($\mu=0$-t kivéve) közömbös! A mozgási energia: $$E=\frac14\omega_0^2R_1^2\frac{m_1^2}{m_1+m_2}.$$ A kezdeti impulzusmomentum a kezdetben forgó tárcsa tengelyére nézve $$L_0=\frac12m_1R_1^2\omega_0.$$ Könnyen ellenőrizhető, hogy azonos tömegek és sugarak esetén az együttforgás állapotában az eredő impulzusmomentum nulla, de más esetekben is az impulzusmomentum mindenképp megváltozik, mert hiába nulla a belsőnek számító súrlódási erők eredő forgatónyomatéka egy közös tengelyre nézve, a tengelyeket tartó (külső) erők egyikének van forgatónyomatéka. (Habár munkavégzésük nincs.) Fontos, hogy az eredő impulzusmomentumok és nyomatékok számításánál mindent egy kiválasztott tengelyre vonatkoztassunk! A feladat első felének megoldásánál ezt még elkerülhettük. A teljes impulzusmomentum a végállapotban $$L_1+L_2=\frac12\frac{m_1}{m_1+m_2}R_1(m_1R_1-m_2R_2)$$ A tengelyt tartó erő forgatónyomatéka $M_\text{T}=-\mu F(R_1+R_2),$ ezzel az impulzusmomentum megváltozása $$\Delta L=M_\text{T}t=-\frac{\omega_0R_1m_1m_2(R_1+R_2)}{2(m_1+m_2)}.$$ Ellenőrizhető, hogy $$L_0+\Delta L=L_1+L_2.$$</wlatex>
	</noinclude>		</noinclude>

---

A lap jelenlegi, 2014. október 28., 12:43-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája: Deriválás Integrálás Mozgástan Erőtan I. Erőtan II. Munka, energia Pontrendszerek Merev testek I. Merev testek II. Rugalmasság, folyadékok Rezgések I. Rezgések II. Hullámok
Mechanika - Merev testek I.
Feladatok listája: Egyenletesen gyorsuló forgás Forgatónyomaték gyorsuló forgásnál Lendkerék fékezése Gömb felületén lévő tengellyel Korong fonállal gyorsítva Pálca mint inga Korong mint inga Forgó lemez közegellenállással Oldalra húzott rúd egyensúlya Falhoz támasztott létra Korongba lőtt golyó Összekapcsolódó lendkerekek Súrlódó tárcsák Szíjhajtás Tehetetlenségi nyomaték számítás
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

1. (*3.2.16.) Egymással párhuzamosan elhelyezkedő tengely körül foroghat egy és egy tömegű tárcsa, melyek sugarai rendre és . Az sugarú tárcsát szögsebességgel megforgatjuk, majd az álló sugarú tárcsához nyomjuk erővel. A tárcsák érintkező felületei között a súrlódási együttható .
   

   a) Mennyi idő alatt érik el az együttforgás állapotát, és mekkora szögsebességgel forognak ekkor?

   b) Milyen értékűvé válik ez idő alatt a rendszer kinetikus energiája?

   c) Ellenőrizze az eredő impulzusmomentumot és annak változását. Mi okozza a változást?

   d) Milyen súrlódási tényező lenne energiatakarékosság szempontjából gazdaságos?

Megoldás

Mivel csúszási súrlódási erő hat, ennek nagysága ismert , és a két tárcsa közötti kölcsönhatást erőpárban valósítja meg a III. axióma szerint. Ezen erők nyomatéka a tárcsákon mindaddig hat, amíg az együttforgás be nem áll, azaz a tárcsák kerületi sebessége azonos nem lesz. Ekkor a csúszás megszűnik, és az együttforgás nulla tapadási súrlódási erővel fenntartható. A mozgásegyenletek: illetve így a szöggyorsulások és . Ezzel a kerületi sebességek és melyek egyenlővé téve megadják a közös forgás létrejöttének idejét Ezt visszahelyettesítve kapjuk a szögsebességeket ebben az állapotban: és . Érdemes megjegyezni, hogy bár a beállás ideje függ a súrlódási együtthatótól, a végállapot maga nem, tehát energetikailag a súrlódási együttható értéke (-t kivéve) közömbös! A mozgási energia: A kezdeti impulzusmomentum a kezdetben forgó tárcsa tengelyére nézve Könnyen ellenőrizhető, hogy azonos tömegek és sugarak esetén az együttforgás állapotában az eredő impulzusmomentum nulla, de más esetekben is az impulzusmomentum mindenképp megváltozik, mert hiába nulla a belsőnek számító súrlódási erők eredő forgatónyomatéka egy közös tengelyre nézve, a tengelyeket tartó (külső) erők egyikének van forgatónyomatéka. (Habár munkavégzésük nincs.) Fontos, hogy az eredő impulzusmomentumok és nyomatékok számításánál mindent egy kiválasztott tengelyre vonatkoztassunk! A feladat első felének megoldásánál ezt még elkerülhettük. A teljes impulzusmomentum a végállapotban A tengelyt tartó erő forgatónyomatéka ezzel az impulzusmomentum megváltozása Ellenőrizhető, hogy