„Mechanika - Jósági tényező” változatai közötti eltérés

</noinclude><wlatex># (**6.36.) Valamely csillapított, kényszerrezgést végző rendszer jósági tényezőjét a következőképpen definiáljuk: $$Q=2\pi\frac{\text{a rendszer által tárolt energia}}{\text{egy periódus alatt disszipált energia}}$$ Határozza meg a $Q(\omega)$ függvényt!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Határozzuk meg az átlagos mozgási és rugalmas energiát egy periódusra, valamint a gerjesztő erő teljesítményének integrálját szintén egy periódusra.}}{{Végeredmény|content=$$Q(\omega)=\frac{\omega_0^2+\omega^2}{4\omega\beta}\approx\frac{\omega_0}{2\beta}=\frac{\omega_0}{\Delta\omega_{1/2}}$$ a sebességrezonancia közelében.}}</wlatex></includeonly><noinclude>

<wlatex>A rendszer által tárolt energia a kialakuló harmonikus rezgés energiája, amit az állandósult állapot állandó amplitúdója miatt könnyedén felírhatnánk az $$E=\frac12DA(\omega)^2$$ kifejezéssel (amely időfüggetlen), azonban ez átalában nem alkalmazható, mivel a rezgés nem a csillapítatlan sajátfrekvencián valósul meg, hanem a kényszerítetten. Fel kell írni külön a mozgási és a rugalmas helyzeti energia átlagát egy periódusra nézve, és ezek összegét venni. Legyen $F(t)=mf_0\sin\omega t$ a gerjesztő erő. A kialakuló rezgés időfüggése $x(t)=A(\omega)\sin(\omega t+\phi)$, a sebességé pedig $$v(t)=\omega A(\omega)\cos(\omega t+\phi)=\omega A(\omega)(\cos\omega t\cos\phi-\sin\omega t\sin\phi).$$ Ezekkel $$<E_m>=\frac12m<v^2(t)>=\frac12m\omega^2A(\omega)^2\frac12,$$ mivel a koszinusz négyzet függvény (lásd az első függvényalakot) átlagértéke $\frac12$. Hasonlóan $$<E_r>=\frac12D<x^2(t)>=\frac12m\omega_0^2A(\omega)^2\frac12.$$ Látható, hogy a kettő csak $\omega=\omega_0$ gerjesztési frekvenciánál egyenlő! A tárolt energia tehát: $$E=\frac{\frac14mf_0^2(\omega_0^2+\omega^2)}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}$$ A rendszer által disszipált energia nem más, mint amit a gerjesztő erő betáplál egy $T$ periódus alatt, azaz $$\Delta E=\int_0^TF(t)v(t)\rm dt$$ Ez az integrál $v(t)$ fenti második alakja miatt két tagból fog állni, és az időfüggetlen konstansokat kiemelve lényegében kétféle integrált kell meghatározni. Ebből az egyik: $$\int_0^T\sin\omega t\cos\omega t\rm dt=0,$$ mivel ez egy $2\omega$ frekvenciájú szinuszfüggvény alatti előjeles területet jelent, ami két teljes $T/2$ periódusára számolva éppen nulla. Marad tehát (a negatív előjeltől eltekintve) $$\Delta E=mf_0\omega A(\omega)\sin\phi\int_0^T\sin^2\omega t\rm dt,$$ melyben az integrál $\frac12 T$, azaz az átlagérték és az integrálási tartomány szorzata. A fázistolás szinusza $\sin\phi=\frac{2\beta\omega}{\sqrt{...}}$, mely gyök az amplitúdó $A(\omega)$ kifejezésében is látható. Összességében tehát $$\Delta E=mf_0\omega\frac{f_0}{\sqrt{...}}\frac T2\frac{2\beta\omega}{\sqrt{...}}=\frac{mf_0^2\omega^2T\beta}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}$$ Ennek nevezője azonos a tárolt energia kifejezésében láthatóéval, tehát a jósági tényezőben csak a számlálók hányadosa jelenik meg: $$Q(\omega)=2\pi\frac{\frac14mf_0^2(\omega_0^2+\omega^2))}{mf_0^2\omega^2T\beta}=\frac{\omega_0^2+\omega^2}{4\omega\beta},$$ amely $\omega\approx\omega_0$ gerjesztés esetén $$Q\approx\frac{\omega_0}{2\beta}=\frac{\omega_0}{\Delta\omega_{1/2}}$$ a félértékszélességel kifejezve.Tehát a jósági tényező a sebességrezonancia közelében kb. állandó rendszerparaméter, és kis csillapítás esetén az amplitúdó rezonancia is a közelében van.</wlatex>