„Pontrendszerek - 3.1.23” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
 
8. sor: 8. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
−
</noinclude><wlatex># A rakétát a hajtóműből folytonosan kiáramló gáz gyorsítja. Mennyivel változik az eredetileg $m_{0}$ tömegű rakéta sebessége, ha a rakétából a rakétához viszonyítva állandó $u$ sebességgel $\alpha m_{0}$ tömegű gáz áramlott ki, ahol $0<\alpha<1$? (A rakétára külső erő nem hat és az $u$ sebesség iránya a rakéta sebességének irányába esik.)
+
</noinclude><wlatex># Egy fonal egyik végét a mennyezethez erősítjük, másik végére $m_{1}$ tömegű testet akasztunk, ehhez egy rugót kötünk, majd a rugóra egy $m_{2}$ tömegű testet. Kezdetben a rendszer nyugalomban van. Ekkor elégetjük a fonalat. Mekkora lesz a testek gyorsulása a következő pillanatban?
−
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Vizsgáld egy általános időpillanatban egy $dm$ infinitezimális tömegű gázmennyiség kilökődését!}}{{Végeredmény|content=$$\Delta v_{\alpha}=-u\ln(1-\alpha)>0$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$a_{1}=g\left(1+\frac{m_{2}}{m_{1}}\right)\qquad\qquad a_{2}=0$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
−
<wlatex>#: A gáz kiáramlását jellemezze a konstans $\lambda$ kiáramlási sebesség. Egy nagyon rövid $dt$ időtartam alatt így $dm=\lambda dt$ tömegű gáz áramlik ki. Ezen idő alatt tekinthetünk úgy a problémára, mintha a rakéta két részre szakadna. A ''szétszakadás'' előtt a teljes tömeg $m(t)$, utána a kilökött gázé $dm=\lambda dt$, a rakétáé pedig $m(t+dt)=m(t)-\lambda dt$. A rakéta sebessége a ''szétszakadás'' előtt $v(t)$, utána a kilökött gázé $v(t)-u$, a rakétáé $v(t+dt)$. Az impulzus megmaradás az alábbiak szerint írható fel. $$m(t)v(t)=(m(t)-\lambda dt)v(t+dt)+\lambda dt(v(t)-u)$$ Infinitezimális folyamatokat írunk le, ezért $dt$ nagyon kicsi. Így mindkét oldalon csak $dt$-ben elsőrendűtagokat tartjuk meg. $$m(t)v(t)=m(t)v(t+dt)-\lambda dt u$$ Az elhanyagolt tag $\sim (v(t+dt)-v(t))dt=a(t) dt^{2}$ nagyságrendű. Az így kapott egyenletet leosztva $dt$-vel megjelenik a sebesség idő szerinti deriváltja. $$m(t)\frac{dv}{dt}=\lambda u\,,$$ ahol $m(t)=m_{0}-\lambda t$. $$\frac{dv}{dt}=\frac{\lambda u}{m_{0}-\lambda t}\qquad\Rightarrow\qquad v(t)=v(0)+\int_{0}^{t}\frac{\lambda u}{m_{0}-\lambda t'}dt'=v(0)+u\ln\frac{m_{0}}{m_{0}-\lambda t}$$ A $t_{\alpha}=\alpha m_{0}/\lambda$ az az idő, amennyi alatt az $\alpha m_{0}$ mennyiségű gáz kiáramlik. Ennyi idő alatt a sebesség változás $$\Delta v_{\alpha}=v(t_{\alpha})-v(0)=-u\ln(1-\alpha)>0\,.$$
+
<wlatex>#: A nyugalmi helyzetben az $m_{2}$ tömegű testre hat a gravitációs erő és a rugóerő, amelyek kiegyenlítik egymást. $$F_{r}=m_{2}g$$ Az $m_{1}$ tömegű testre a gravitációs erőn és a rugóerőn kívül egy kötélerő is hat. $$F_{r}+m_{1}g=K$$ Amikor a fonalat elégetjük, akkor csak a kötélerőszűnik meg teljesen. A többi erő az első pillanatban még ugyanakkora lesz, mint a nyugalmi helyzetben. Emiatt az elégetés utáni első pillanatban az $m_{2}$ tömegű test gyorsulása zérus lesz, míg az $m_{1}$ tömegű testé $$a_{1}=g+\frac{F_{r}}{m_{1}}=g\left(1+\frac{m_{2}}{m_{1}}\right)\,.$$
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap 2013. április 13., 13:51-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Pontrendszerek
Feladatok listája:
  1. Pontrendszerek - 3.1.2
  2. Pontrendszerek - 3.1.3
  3. Pontrendszerek - 3.1.6
  4. Pontrendszerek - 3.1.7
  5. Pontrendszerek - 3.1.9
  6. Pontrendszerek - 3.1.11
  7. Pontrendszerek - 3.1.12
  8. Pontrendszerek - 3.1.13
  9. Pontrendszerek - 3.1.14
  10. Pontrendszerek - 3.1.16
  11. Pontrendszerek - 3.1.18
  12. Pontrendszerek - Rugalmas ütközés térben
  13. Pontrendszerek - 3.1.21
  14. Pontrendszerek - 3.1.23
  15. Pontrendszerek - 3.1.26
  16. Pontrendszerek - 3.3.1
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy fonal egyik végét a mennyezethez erősítjük, másik végére \setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű testet akasztunk, ehhez egy rugót kötünk, majd a rugóra egy \setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű testet. Kezdetben a rendszer nyugalomban van. Ekkor elégetjük a fonalat. Mekkora lesz a testek gyorsulása a következő pillanatban?

Megoldás

  1. A nyugalmi helyzetben az \setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű testre hat a gravitációs erő és a rugóerő, amelyek kiegyenlítik egymást.
    \[F_{r}=m_{2}g\]
    Az \setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű testre a gravitációs erőn és a rugóerőn kívül egy kötélerő is hat.
    \[F_{r}+m_{1}g=K\]
    Amikor a fonalat elégetjük, akkor csak a kötélerőszűnik meg teljesen. A többi erő az első pillanatban még ugyanakkora lesz, mint a nyugalmi helyzetben. Emiatt az elégetés utáni első pillanatban az \setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű test gyorsulása zérus lesz, míg az \setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű testé
    \[a_{1}=g+\frac{F_{r}}{m_{1}}=g\left(1+\frac{m_{2}}{m_{1}}\right)\,.\]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Pontrendszerek_-_3.1.23&oldid=8771”