„Pontrendszerek - 3.1.14” változatai közötti eltérés

</noinclude><wlatex># Egy súrlódásmentes asztalon $\alpha$ hajlásszögű, $l$ hosszúságú, $M$ tömegű lejtő van. A lejtő tetején egy $m$ tömegű test van. Mekkora távolságra mozdul el a lejtő azalatt míg a test a lejtő aljára csúszik le?

<wlatex>#: Rögzítsük a vonatkoztatási rendszert úgy, hogy az $x$- és $y$- tengelyek a lejtő egymásra merőleges oldalaira illeszkednek. Jelöljük $x_{M}$-mel a lejtő tömegközéppontját, amelyet bizonyos esetekben meg is tudnánk határozni, azonban a számolás során nem lesz szükség a pontos értékére. A teljes rendszer tömegközéppontja $$x_{TKP}=\frac{0\cdot m+ x_{M} M}{m+M}\,,$$ amely a mozgás során nem változik, hiszen nincs súrlódás az asztal és a lejtő között, így nem hat semmilyen vízszintes irányú külső erő a rendszerre. Ha a lecsúszás után a lejtő $d$ távolságra tolódott el negatív irányba, akkor a rajta lévő $m$ tömegű test az $l-d$ pozícióba kerül. A végállapotban a tömegközéppont helye $$x_{TKP}=\frac{m(l-d)+M\left(x_{M}-d\right)}{m+M}\,.$$ A két egyenletet összevetve $$d=\frac{m}{m+M}l$$ adódik függetlenül attól, hogy a lejtő homogén-e vagy sem. <br> <br> Megjegyzés: Homogén lejtő esetén ki lehetne számolni a lejtő tömegközéppontjának helyzetét az alábbi számolás szerint. A kezdeti állapotban $$x_{M}=\frac{1}{M}\int_{0}^{l}\int_{0}^{l\,\mbox{tg}\,\alpha\left(1-\frac{x}{l}\right)}\rho(x,y) x dy dx\,,$$ ahol $\rho(x,y)$ a lejtő sűrűsége. Homogén lejtő esetén $$\rho(x,y)=\frac{2M}{l^{2}\,\mbox{tg}\,\alpha}\,.$$ Így a lejtő tömegközéppontja az  $$x_{M}=\frac{l}{3}$$ helyen van.