„Pontrendszerek - 3.1.3” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(→Megoldás) |
|||
12. sor: | 12. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>#: A csigákra és a testekre ható erőket az ÁBRÁn ábrázoltuk. | <wlatex>#: A csigákra és a testekre ható erőket az ÁBRÁn ábrázoltuk. | ||
− | + | [[Kép:3.1.3.svg|none|250px]] | |
Az állócsiga jobb oldalán ható, kötél által kifejtett erő Newton III. törvénye miatt egyezik meg az $m_{1}$ tömegű testre ható kötélerővel. Az állócsiga bal oldalán ható, kötél által kifejtett erő azért egyezik meg a jobb oldalon ható $K$ erővel, mert a kettő forgatónyomatékának ki kell egyenlítenie egymást. Ez annak a következménye, hogy a csiga tömege zérus, így a tehetetlenségi nyomatéka is zérus, így a forgásokra vonatkozó Newton törvény értelmében az eredő forgatónyomaték is $M_{e}=\Theta\beta=0$ annak ellenére, hogy szöggyorsulása nem $0$. A mozgó csiga jobb oldalán ható, a kötél által kifejtett erő is $K$ nagyságú, mert az az állócsiga bal oldalán ható erő ellenereje. A mozgócsiga tengelyén ható erő $2K$, mert a bal oldalán lévő felfüggesztési pontot tekintve forgástengelynek a csigára ható eredő forgatónyomatéknak zérusnak kell lennie. A csigákra ható erőket a felfüggesztési pontokban a következő megfontolás alapján határoztuk meg. A csigák tömege zérus, ezért a rájuk ható erők eredője is $0$ kell, hogy legyen. Így a felfüggesztési pontokban kifejtett erőnek ki kell egyensúlyoznia a többi erőt. <br> A fenti érvelésben fontos szerepet játszott az a tény, hogy a csigák és a fonál tömegét elhanyagoltuk, valamint, hogy a fonal nyújthatatlan. A nyújthatatlanságnak az is a következménye, hogy ha az $m_{1}$ tömegű test lefelé gyorsul egy $a$ nagyságú gyorsulással, akkor az $m_{2}$ tömegű test felfelé gyorsul $a/2$ nagyságú gyorsulással. A rájuk vonatkozó mozgásegyenletek: $$m_{1}a=m_{1}g-K$$ $$m_{2}\frac{a}{2}=2K-m_{2}g$$ Az egyenletrendszert megoldva $$a=\frac{4m_{1}-2m_{2}}{4m_{1}+m_{2}}g\,.$$ A mozgás irányát persze a tömegek aránya határozza meg. Ha $2m_{1}>m_{2}$, akkor az $m_{1}$ tömegű test fog $a$ gyorsulással lefelé, az $m_{2}$ tömegű pedig $a/2$-vel felfelé haladni. Fordított esetben ellenkező irányban történik a mozgás. | Az állócsiga jobb oldalán ható, kötél által kifejtett erő Newton III. törvénye miatt egyezik meg az $m_{1}$ tömegű testre ható kötélerővel. Az állócsiga bal oldalán ható, kötél által kifejtett erő azért egyezik meg a jobb oldalon ható $K$ erővel, mert a kettő forgatónyomatékának ki kell egyenlítenie egymást. Ez annak a következménye, hogy a csiga tömege zérus, így a tehetetlenségi nyomatéka is zérus, így a forgásokra vonatkozó Newton törvény értelmében az eredő forgatónyomaték is $M_{e}=\Theta\beta=0$ annak ellenére, hogy szöggyorsulása nem $0$. A mozgó csiga jobb oldalán ható, a kötél által kifejtett erő is $K$ nagyságú, mert az az állócsiga bal oldalán ható erő ellenereje. A mozgócsiga tengelyén ható erő $2K$, mert a bal oldalán lévő felfüggesztési pontot tekintve forgástengelynek a csigára ható eredő forgatónyomatéknak zérusnak kell lennie. A csigákra ható erőket a felfüggesztési pontokban a következő megfontolás alapján határoztuk meg. A csigák tömege zérus, ezért a rájuk ható erők eredője is $0$ kell, hogy legyen. Így a felfüggesztési pontokban kifejtett erőnek ki kell egyensúlyoznia a többi erőt. <br> A fenti érvelésben fontos szerepet játszott az a tény, hogy a csigák és a fonál tömegét elhanyagoltuk, valamint, hogy a fonal nyújthatatlan. A nyújthatatlanságnak az is a következménye, hogy ha az $m_{1}$ tömegű test lefelé gyorsul egy $a$ nagyságú gyorsulással, akkor az $m_{2}$ tömegű test felfelé gyorsul $a/2$ nagyságú gyorsulással. A rájuk vonatkozó mozgásegyenletek: $$m_{1}a=m_{1}g-K$$ $$m_{2}\frac{a}{2}=2K-m_{2}g$$ Az egyenletrendszert megoldva $$a=\frac{4m_{1}-2m_{2}}{4m_{1}+m_{2}}g\,.$$ A mozgás irányát persze a tömegek aránya határozza meg. Ha $2m_{1}>m_{2}$, akkor az $m_{1}$ tömegű test fog $a$ gyorsulással lefelé, az $m_{2}$ tömegű pedig $a/2$-vel felfelé haladni. Fordított esetben ellenkező irányban történik a mozgás. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. június 29., 17:45-kori változata
Feladat
- ÁBRA ÁBRAM Egy mozgó csigára egy
tömegű testet függesztünk. A mozgó csigát tartó fonál egyik végét állványhoz erősítjük, másik végét álló csigán átvezetve
tömeghez kötjük. (3.1.3. ábra) Határozzuk meg az
, ill.
tömegek gyorsulását! A csigák és a fonál tömegétől, valamint a súrlódástól eltekintünk.
Megoldás
- A csigákra és a testekre ható erőket az ÁBRÁn ábrázoltuk.
![\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/6/d/b6d5f5b1a32825ce2f4341daa3724c3c.png)
![\setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/4/3/043a9cd50c9aa3c6a83627025e06c95f.png)
![\setbox0\hbox{$M_{e}=\Theta\beta=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/2/2/0/220546e1075dcb2ccabb9c5d78ebfcd2.png)
![\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/0/e/e0ea05b7ea1cacb2d176b7b28f935d11.png)
![\setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/4/3/043a9cd50c9aa3c6a83627025e06c95f.png)
![\setbox0\hbox{$2K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/7/f/5/7f57fdc3ef7682c8e226a772a4aeff9c.png)
![\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/0/e/e0ea05b7ea1cacb2d176b7b28f935d11.png)
A fenti érvelésben fontos szerepet játszott az a tény, hogy a csigák és a fonál tömegét elhanyagoltuk, valamint, hogy a fonal nyújthatatlan. A nyújthatatlanságnak az is a következménye, hogy ha az
![\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/6/d/b6d5f5b1a32825ce2f4341daa3724c3c.png)
![\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/8/6/4/864873f3aa69af4630109a23ec58b887.png)
![\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/d/3/9d34a1f6fe9d3106d1b81d3fbdf98b8e.png)
![\setbox0\hbox{$a/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/6/1/c/61cb49490cd9e3eb522de3d63a0d4a86.png)
![\[m_{1}a=m_{1}g-K\]](/images/math/e/2/3/e23839fbeb3f051da6548c79812a78e7.png)
![\[m_{2}\frac{a}{2}=2K-m_{2}g\]](/images/math/e/e/9/ee91d3b9acea61b84c83126867a2975a.png)
![\[a=\frac{4m_{1}-2m_{2}}{4m_{1}+m_{2}}g\,.\]](/images/math/d/5/4/d541344d8b70a8899ce9a73f5b525f45.png)
![\setbox0\hbox{$2m_{1}>m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/7/5/e751661b2289fe18ecc57f8742bb49af.png)
![\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/6/d/b6d5f5b1a32825ce2f4341daa3724c3c.png)
![\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/8/6/4/864873f3aa69af4630109a23ec58b887.png)
![\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/9/d/3/9d34a1f6fe9d3106d1b81d3fbdf98b8e.png)
![\setbox0\hbox{$a/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/6/1/c/61cb49490cd9e3eb522de3d63a0d4a86.png)