„Mechanika - Szíjhajtás” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő:Gombkötő Kategória:Mechanika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév = …”) |
(→Megoldás) |
||
| 14. sor: | 14. sor: | ||
#: d) Mire fordítódik az $M_1$ nyomatékot szolgáltató forrás energiájának és a terhelés által végzett munkának a különbsége?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\beta_1=\frac{M_1R_2^2-M_2R_1R_2}{\theta_2R_1^2+\theta_1R_1^2}$$ $$\beta_2=\beta_1\frac{R_1}{R_2}$$ $$P_1=M_1\beta_1t$$ $$P_2=M_2\beta_2t$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | #: d) Mire fordítódik az $M_1$ nyomatékot szolgáltató forrás energiájának és a terhelés által végzett munkának a különbsége?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\beta_1=\frac{M_1R_2^2-M_2R_1R_2}{\theta_2R_1^2+\theta_1R_1^2}$$ $$\beta_2=\beta_1\frac{R_1}{R_2}$$ $$P_1=M_1\beta_1t$$ $$P_2=M_2\beta_2t$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex>A két tárcsa mozgásegyenletének felírásához a két megadott nyomatékon felül a többi nyomatékot is számba kell venni, melyet a szíjat feszítő erők tárcsákra ható ellenerői adnak. A szíj két szakaszát eltérő erő feszíti, így tud mindkét tárcsára eredő nem nulla nyomaték hatni a szíj részéről. Ezt a két erőt $F_1$-el és $F_2$-vel jelölve a nyomatéki mozgásegyenletek: $$\theta_1\beta_1=M_1+(F_1-F_2)R_1$$ és $$\theta_2\beta_2=-M_2+(F_2-F_1)R_2$$ A tömegközéppontok erőegyenleteit ezek megoldásához nem szükséges felírni, annyi többletinformáció adódik belőlük, hogy a tengelyeket tartó erő azonos a két tárcsánál és $T=F_1+F_2$. Ki kell használni azonban, hogy a szíj nem csúszik meg, tehát a két tárcsa kerületi sebessége, így kerületi gyorsulásuk is azonos, ebből adódik a szöggyorsulások viszonyára $\beta_2=\beta_1\frac{R_1}{R_2}$. Ezt a második nyomatéki egyenletbe írva, majd a két egyenletet megfelelő tényezőkkel szorozva elérhető, hogy a tárcsák közti nyomatékátadást leíró tagok a két egyenlet összeadásakor kiesnek, így kapható $$\beta_1=\frac{M_1R_2^2-M_2R_1R_2}{\theta_2R_1^2+\ | + | <wlatex>A két tárcsa mozgásegyenletének felírásához a két megadott nyomatékon felül a többi nyomatékot is számba kell venni, melyet a szíjat feszítő erők tárcsákra ható ellenerői adnak. A szíj két szakaszát eltérő erő feszíti, így tud mindkét tárcsára eredő nem nulla nyomaték hatni a szíj részéről. Ezt a két erőt $F_1$-el és $F_2$-vel jelölve a nyomatéki mozgásegyenletek: $$\theta_1\beta_1=M_1+(F_1-F_2)R_1$$ és $$\theta_2\beta_2=-M_2+(F_2-F_1)R_2$$ A tömegközéppontok erőegyenleteit ezek megoldásához nem szükséges felírni, annyi többletinformáció adódik belőlük, hogy a tengelyeket tartó erő azonos a két tárcsánál és $T=F_1+F_2$. Ki kell használni azonban, hogy a szíj nem csúszik meg, tehát a két tárcsa kerületi sebessége, így kerületi gyorsulásuk is azonos, ebből adódik a szöggyorsulások viszonyára $\beta_2=\beta_1\frac{R_1}{R_2}$. Ezt a második nyomatéki egyenletbe írva, majd a két egyenletet megfelelő tényezőkkel szorozva elérhető, hogy a tárcsák közti nyomatékátadást leíró tagok a két egyenlet összeadásakor kiesnek, így kapható $$\beta_1=\frac{M_1R_2^2-M_2R_1R_2}{\theta_2R_1^2+\theta_1R_2^2},$$ ebből pedig $\beta_2$. A hatjószerkezet teljesítménye $P_1=M_1\omega_1(t)=M_1\beta_1t$, a terhelő szerkezet munkavégzése pedig $P_2=M_2\omega_2(t)=M_2\beta_2t$. A kettő különbségének idő szerinti integrálja a két tárcsából álló rendszer mozgási energiáját változtatja meg.</wlatex> |
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. november 6., 10:06-kori változata
Feladat
- (*3.2.17.) Az
és 
tömegű, 
és 
sugarú rögzített tengely körül forgó, homogén tömegeloszlású tárcsák elhanyagolható tömegű szíjjal kapcsolódnak egymáshoz. A hajtó tárcsára 
nagyságú forgatónyomaték hat, a másikat 
értékű nyomaték terheli. Feltételezzük, hogy a szíj a tárcsákon nem csúszik meg.
- a) Határozzuk meg mindkét tárcsa szöggyorsulását!
- b) Hogyan változik az nyomatékot szolgáltató energiaforrás teljesítménye az idő függvényében, ha a
időpontban a tárcsák álltak?
- c) Milyen teljesítménnyel végez munkát a terhelő szerkezet a
-ik időpillanatban?
- d) Mire fordítódik az nyomatékot szolgáltató forrás energiájának és a terhelés által végzett munkának a különbsége?
Megoldás
A két tárcsa mozgásegyenletének felírásához a két megadott nyomatékon felül a többi nyomatékot is számba kell venni, melyet a szíjat feszítő erők tárcsákra ható ellenerői adnak. A szíj két szakaszát eltérő erő feszíti, így tud mindkét tárcsára eredő nem nulla nyomaték hatni a szíj részéről. Ezt a két erőt
-el és 
-vel jelölve a nyomatéki mozgásegyenletek: ![\[\theta_1\beta_1=M_1+(F_1-F_2)R_1\]](/images/math/4/8/0/480e77b9339949659eea3cbc1b732eeb.png)
![\[\theta_2\beta_2=-M_2+(F_2-F_1)R_2\]](/images/math/6/f/6/6f6d16041c6254142d07c6a6a9933a6f.png)
. Ki kell használni azonban, hogy a szíj nem csúszik meg, tehát a két tárcsa kerületi sebessége, így kerületi gyorsulásuk is azonos, ebből adódik a szöggyorsulások viszonyára 
. Ezt a második nyomatéki egyenletbe írva, majd a két egyenletet megfelelő tényezőkkel szorozva elérhető, hogy a tárcsák közti nyomatékátadást leíró tagok a két egyenlet összeadásakor kiesnek, így kapható ![\[\beta_1=\frac{M_1R_2^2-M_2R_1R_2}{\theta_2R_1^2+\theta_1R_2^2},\]](/images/math/c/1/7/c173ac5c3c6858a34e5455398ae605be.png)
. A hatjószerkezet teljesítménye 
, a terhelő szerkezet munkavégzése pedig 
. A kettő különbségének idő szerinti integrálja a két tárcsából álló rendszer mozgási energiáját változtatja meg.
