„Mechanika - Túlcsillapított rezgés” változatai közötti eltérés

}}

}}

== Feladat ==

== Feladat ==

== Megoldás ==

== Megoldás ==

<wlatex>A rugóállandó $D=1,25\,\rm{\frac Nm}$, így a csillapítatlan sajátrezgés körfrekvenciája $\omega_0=\sqrt{2,5}\,\frac1{\rm s}$, a közegellenállási erő együtthatója $k=5\,\rm{\frac{Ns}m}$, így a csillapítási tényező $\beta=5\,\frac1{\rm s}$. Mivel $\beta>\omega_0$, a rezgés túlcsillapított. Az ehhez tartozó általános megoldás egyik lehetséges (és praktikus) alakja: $$x(t)=e^{-\beta t}[c_1\sinh(\gamma t)+c_2\cosh(\gamma t)],$$ melyben a $c_1$ és $c_2$ állandókat a kezdeti feltételek határozzák meg, valamint $\gamma=\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}=4,74\,\frac1{\rm s}$. $$x(0)=1(c_1 0+c_2 1)=c_2=5\, \rm{cm}$$ $$\dot x(t)=-\beta e^{-\beta t}[c_1\sinh(\gamma t)+c_2\cosh(\gamma t)]+e^{-\beta t}[c_1\gamma\cosh(\gamma t)+c_2\gamma\sinh(\gamma t)]$$ $$\dot x(0)=c_1\gamma-c_2\beta=0,$$ melyből $$c_1=\frac{c_2\beta}{\gamma}=5,27\,\rm{cm}$$</wlatex>

<wlatex>A rugóállandó $D=1,25\,\rm{\frac Nm}$, így a csillapítatlan sajátrezgés körfrekvenciája $\omega_0=\sqrt{2,5}\,\frac1{\rm s}$, a közegellenállási erő együtthatója $k=5\,\rm{\frac{Ns}m}$, így a csillapítási tényező $\beta=5\,\frac1{\rm s}$. Mivel $\beta>\omega_0$, a rezgés túlcsillapított. Az ehhez tartozó általános megoldás egyik lehetséges (és praktikus) alakja: $$x(t)=e^{-\beta t}[c_1\sinh(\gamma t)+c_2\cosh(\gamma t)],$$ melyben a $c_1$ és $c_2$ állandókat a kezdeti feltételek határozzák meg, valamint $\gamma=\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}=4,74\,\frac1{\rm s}$. $$x(0)=1(c_1 0+c_2 1)=c_2=5\, \rm{cm}$$ $$\dot x(t)=-\beta e^{-\beta t}[c_1\sinh(\gamma t)+c_2\cosh(\gamma t)]+e^{-\beta t}[c_1\gamma\cosh(\gamma t)+c_2\gamma\sinh(\gamma t)]$$ $$\dot x(0)=c_1\gamma-c_2\beta=0,$$ melyből $$c_1=\frac{c_2\beta}{\gamma}=5,27\,\rm{cm}$$</wlatex>

</noinclude>

</noinclude>