„Mechanika - Szíjhajtás” változatai közötti eltérés

</noinclude><wlatex># (*3.2.17.) Az $m_1$ és $m_2$ tömegű, $R_1$ és $R_2$ sugarú rögzített tengely körül forgó, homogén tömegeloszlású tárcsák elhanyagolható tömegű szíjjal kapcsolódnak egymáshoz. A hajtó tárcsára $M_1$ nagyságú forgatónyomaték hat, a másikat $M_2$ értékű nyomaték terheli. Feltételezzük, hogy a szíj a tárcsákon nem csúszik meg.

</noinclude><wlatex># (*3.2.17.) Az $m_1$ és $m_2$ tömegű, $R_1$ és $R_2$ sugarú rögzített tengely körül forgó, homogén tömegeloszlású tárcsák elhanyagolható tömegű szíjjal kapcsolódnak egymáshoz. A hajtó tárcsára $M_1$ nagyságú forgatónyomaték hat, a másikat $M_2$ értékű nyomaték terheli. Feltételezzük, hogy a szíj a tárcsákon nem csúszik meg.

#: a) Határozzuk meg mindkét tárcsa szöggyorsulását!

#: a) Határozzuk meg mindkét tárcsa szöggyorsulását!

#: c) Milyen teljesítménnyel végez munkát a terhelő szerkezet a $t$-ik időpillanatban?

#: c) Milyen teljesítménnyel végez munkát a terhelő szerkezet a $t$-ik időpillanatban?

#: d) Mire fordítódik az $M_1$ nyomatékot szolgáltató forrás energiájának és a terhelés által végzett munkának a különbsége?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\beta_1=\frac{M_1R_2^2-M_2R_1R_2}{\theta_2R_1^2+\theta_1R_1^2}$$ $$\beta_2=\beta_1\frac{R_1}{R_2}$$ $$P_1=M_1\beta_1t$$ $$P_2=M_2\beta_2t$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

#: d) Mire fordítódik az $M_1$ nyomatékot szolgáltató forrás energiájának és a terhelés által végzett munkának a különbsége?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\beta_1=\frac{M_1R_2^2-M_2R_1R_2}{\theta_2R_1^2+\theta_1R_1^2}$$ $$\beta_2=\beta_1\frac{R_1}{R_2}$$ $$P_1=M_1\beta_1t$$ $$P_2=M_2\beta_2t$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==

== Megoldás ==

<wlatex>A két tárcsa mozgásegyenletének felírásához a két megadott nyomatékon felül a többi nyomatékot is számba kell venni, melyet a szíjat feszítő erők tárcsákra ható ellenerői adnak. A szíj két szakaszát eltérő erő feszíti, így tud mindkét tárcsára eredő nem nulla nyomaték hatni a szíj részéről. Ezt a két erőt $F_1$-el és $F_2$-vel jelölve a nyomatéki mozgásegyenletek: $$\theta_1\beta_1=M_1+(F_1-F_2)R_1$$ és $$\theta_2\beta_2=-M_2+(F_2-F_1)R_2$$ A tömegközéppontok erőegyenleteit ezek megoldásához nem szükséges felírni, annyi többletinformáció adódik belőlük, hogy a tengelyeket tartó erő azonos a két tárcsánál és $T=F_1+F_2$. Ki kell használni azonban, hogy a szíj nem csúszik meg, tehát a két tárcsa kerületi sebessége, így kerületi gyorsulásuk is azonos, ebből adódik a szöggyorsulások viszonyára $\beta_2=\beta_1\frac{R_1}{R_2}$. Ezt a második nyomatéki egyenletbe írva, majd a két egyenletet megfelelő tényezőkkel szorozva elérhető, hogy a tárcsák közti nyomatékátadást leíró tagok a két egyenlet összeadásakor kiesnek, így kapható $$\beta_1=\frac{M_1R_2^2-M_2R_1R_2}{\theta_2R_1^2+\theta_1R_2^2},$$ ebből pedig $\beta_2$. A hatjószerkezet teljesítménye $P_1=M_1\omega_1(t)=M_1\beta_1t$, a terhelő szerkezet munkavégzése pedig $P_2=M_2\omega_2(t)=M_2\beta_2t$. A kettő különbségének idő szerinti integrálja a két tárcsából álló rendszer mozgási energiáját változtatja meg.</wlatex>

<wlatex>A két tárcsa mozgásegyenletének felírásához a két megadott nyomatékon felül a többi nyomatékot is számba kell venni, melyet a szíjat feszítő erők tárcsákra ható ellenerői adnak. A szíj két szakaszát eltérő erő feszíti, így tud mindkét tárcsára eredő nem nulla nyomaték hatni a szíj részéről. Ezt a két erőt $F_1$-el és $F_2$-vel jelölve a nyomatéki mozgásegyenletek: $$\theta_1\beta_1=M_1+(F_1-F_2)R_1$$ és $$\theta_2\beta_2=-M_2+(F_2-F_1)R_2$$ A tömegközéppontok erőegyenleteit ezek megoldásához nem szükséges felírni, annyi többletinformáció adódik belőlük, hogy a tengelyeket tartó erő azonos a két tárcsánál és $T=F_1+F_2$. Ki kell használni azonban, hogy a szíj nem csúszik meg, tehát a két tárcsa kerületi sebessége, így kerületi gyorsulásuk is azonos, ebből adódik a szöggyorsulások viszonyára $\beta_2=\beta_1\frac{R_1}{R_2}$. Ezt a második nyomatéki egyenletbe írva, majd a két egyenletet megfelelő tényezőkkel szorozva elérhető, hogy a tárcsák közti nyomatékátadást leíró tagok a két egyenlet összeadásakor kiesnek, így kapható $$\beta_1=\frac{M_1R_2^2-M_2R_1R_2}{\theta_2R_1^2+\theta_1R_2^2},$$ ebből pedig $\beta_2$. A hatjószerkezet teljesítménye $P_1=M_1\omega_1(t)=M_1\beta_1t$, a terhelő szerkezet munkavégzése pedig $P_2=M_2\omega_2(t)=M_2\beta_2t$. A kettő különbségének idő szerinti integrálja a két tárcsából álló rendszer mozgási energiáját változtatja meg.</wlatex>

</noinclude>

</noinclude>