Mechanika - Falhoz támasztott létra

Feladat

1. (*3.2.14.) Egy $\setbox0\hbox{$4\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszú létrát függőleges falhoz támasztunk úgy, hogy a vízszintes talajjal $\setbox0\hbox{$50^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os szöget zár be. A létra és a talaj közötti, valamint a létra és a fal közötti súrlódási együttható egyaránt $\setbox0\hbox{$0,3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A létra tömegét hanyagoljuk el! Egy ember mászik felfelé a létrán. Egy olyan helyzetben, ahol a létra még nem csúszik meg, írjuk fel az egyensúly feltételéből származó egyenleteket! Meg tudjuk határozni a nyomó- és tapadási erőket? Milyen magasra mászhat az ember, hogy a létra ne csússzon meg?
   

Megoldás

A létra hossza legyen $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a felmászó ember súlyereje $\setbox0\hbox{$G$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a létra tetejénél ható falra merőleges támasztó erő $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, az aljánál pedig $\setbox0\hbox{$F_s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ súrlódási erő és $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomóerő hat.

Az erők egyensúlya vízszintesen és függőlegesen $\setbox0\hbox{$F_s=T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ illetve $\setbox0\hbox{$G=N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A nyomatéki egyenletet a létra alján érdemes felírni. Ha az ember a létrán x távolságra mászott fel, $\setbox0\hbox{$Gx\cos{\alpha}=Tl\sin{\alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az erőegyenletek alapján a nyomatéki egyenletet átírva kapjuk

$\[F_s=\frac{Nx\cot{\alpha}}l,\]$

amely a megcsúszás határán épp $\setbox0\hbox{$\mu N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el egyenlő, így a nyomóerővel egyszerűsíthetünk. A létrán tehát $\setbox0\hbox{$x=\mu l\tan{\alpha}=1,43\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságba mászhatunk, ami magasságban $\setbox0\hbox{$h=x\sin{\alpha}=1,095\,\rm m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$