Pontrendszerek - 3.1.14

Feladat

1. (*3.1.14) Egy súrlódásmentes asztalon $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hajlásszögű, $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű lejtő van, amelynek alapja $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszú. A lejtő tetején egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test van. Mekkora távolságra mozdul el a lejtő azalatt míg a test a lejtő aljára csúszik le?

Megoldás

1. Rögzítsük a vonatkoztatási rendszert úgy, hogy az $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$- és $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$- tengelyek a lejtő egymásra merőleges oldalaira illeszkednek. Jelöljük $\setbox0\hbox{$x_{M}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-mel a lejtő tömegközéppontját, amelyet bizonyos esetekben meg is tudnánk határozni, azonban a számolás során nem lesz szükség a pontos értékére. A teljes rendszer tömegközéppontja

   $\[x_{\mathrm{TKP}}=\frac{0\cdot m+ x_{M} M}{m+M}\,,\]$

   amely a mozgás során nem változik, hiszen nincs súrlódás az asztal és a lejtő között, így nem hat semmilyen vízszintes irányú külső erő a rendszerre. Ha a lecsúszás után a lejtő $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra tolódott el negatív irányba, akkor a rajta lévő $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test az $\setbox0\hbox{$l-d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pozícióba kerül. A végállapotban a tömegközéppont helye

   $\[x_{\mathrm{TKP}}=\frac{m(l-d)+M\left(x_{M}-d\right)}{m+M}\,.\]$

   A két egyenletet összevetve

   $\[d=\frac{m}{m+M}l\]$

   adódik függetlenül attól, hogy a lejtő homogén-e vagy sem.
   
   Megjegyzés: Homogén lejtő esetén ki lehetne számolni a lejtő tömegközéppontjának helyzetét az alábbi számolás szerint. A kezdeti állapotban

   $\[x_{M}=\frac{1}{M}\int_{0}^{l}\int_{0}^{l\,\mbox{tg}\,\alpha\left(1-\frac{x}{l}\right)}\rho(x,y) x dy dx\,,\]$

   ahol $\setbox0\hbox{$\rho(x,y)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a lejtő sűrűsége. Homogén lejtő esetén

   $\[\rho(x,y)=\frac{2M}{l^{2}\,\mbox{tg}\,\alpha}\,.\]$

   Így a lejtő tömegközéppontja az

   $\[x_{M}=\frac{l}{3}\]$

   helyen van.