Pontrendszerek - 3.1.9

Feladat

1. (3.1.9) Vízszintes talajon $\setbox0\hbox{$m_{1}=40\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű láda fekszik, a súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$\mu=0,2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test képes a ládát megmozdítani az ábrán látható elrendezésben? Mekkora pillanatnyi gyorsulással indulna el ilyen $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömeg hatására a láda egy súrlódásmentes vízszintes síkon? A csiga tömegét és súrlódását a számításokban elhanyagolhatjuk. ($\setbox0\hbox{$\alpha=30^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)
   

Megoldás

1. Vizsgáljuk meg, hogy mi a feltétele annak, hogy az $\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test ne mozduljon el. A rá ható erők az $\setbox0\hbox{$F_{g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gravitációs erő, $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomóerő, $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tapadási súrlódási erő és a kötél által kifejtett $\setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kötélerő, melynek iránya a vízszintessel $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöget zár be. A kötélerőt felbontjuk vízszintes ($\setbox0\hbox{$K\cos\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és függőleges ($\setbox0\hbox{$K\sin\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) komponensekre. Az $\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testre vonatkozó függőleges és vízszintes irányú mozgásegyenletek

   $\[K\sin\alpha+N=m_{1}g\qquad\qquad K\cos\alpha=T\,.\]$

   Az $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test sem mozdul ebben az esetben, így $\setbox0\hbox{$K=m_{2}g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A tapadási súrlódási erő és a nyomóerő között teljesülnie kell az alábbi összefüggésnek.

   $\[T\leq \mu N\]$

   $\[m_{2}\leq \frac{\mu}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}m_{1}\]$

   Ez a feltétel azt adja meg, hogy mekkorának kell lennie az $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testnek ahhoz, hogy az $\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű ne mozduljon el. Ha ennek ellenkezőjére vagyunk kíváncsiak, vagyis arra, hogy mekkora $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kell ahhoz, hogy $\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elmozduljon, akkor nyilvánvalóan

   $\[m_{2}> \frac{\mu}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}m_{1}=8,28\,\mathrm{kg}\]$

   kell, hogy teljesüljön.
   Ha nem lenne súrlódás és $\setbox0\hbox{$m_{2}=8,28\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lenne, akkor az $\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test vízszintes irányú, $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú, míg az $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test pedig $\setbox0\hbox{$a\cos\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gyorsulással indul el. Az $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gyorsulás meghatározásához írjuk fel a mozgás egyenleteket.

   $\[m_{1}a=K\cos\alpha\]$

   $\[m_{2}a\cos\alpha=m_{2}g-K\]$

   A két egyenlet alapján

   $\[a=\frac{m_{2}}{m_{2}\cos\alpha+\frac{m_{1}}{\cos\alpha}}=1,79\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\]$

   gyorsulással indulna el.