Mechanika - Forgó lemez közegellenállással

Feladat

1. (**3.2.10.) Egy $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalhosszúságú $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű téglalap alakú lemez függőlegesen elhelyezkedő $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldala mentén levő tengely körül forog. A $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban szögsebessége $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A lemez felületére a közegellenállás folytán erő hat, mely a mozgását akadályozza. Egy felületelemre ható erő arányos a felületelem sebességének négyzetével és a felületelem nagyságával, az arányossági tényező $\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   a) Mekkora a $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ik időpillanatban a tengelytől $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban elhelyezkedő $\setbox0\hbox{$\text{dA}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ felületelemre ható, közegellenállásból származó erő?

   b) Mekkora a lemezre ható nyomaték nagysága?

   c) Hogyan változik a lemez szöggyorsulása és szögsebessége az idő függvényében?

   d) Mekkora és hol van a támadáspontja az eredő közegellenállási erőnek?

Megoldás

Az elemi felületre ható közegellenállási erő nagysága

$\[\text{d}F=kv^2(t)\text{d}A=kr^2\omega^2(t)\text{d}A\]$

Mivel hengerkoordinátákban felírva $\setbox0\hbox{$\text{d}A=\text{d}r\text{d}z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és a közegellenállási erőelemek minden pontban merőlegesek a lapra,

$\[\text{d}M=\text{d}F\cdot r,\]$

így a teljes forgatónyomaték

$\[M=\int\int \text{d}M=\int_0^b\int_0^a rkr^2\omega^2\text{d}r\text{d}z=bk\omega^2\int_0^a r^3\rm{d}r=bk\omega^2(t)\frac{a^4}4\]$

Ezzel a lemez mozgásegyenlete

$\[bk\frac{a^4}4\omega^2(t)=\theta\beta(t)=\theta\frac{d\omega(t)}{dt},\]$

amely szeparálható

$\[\frac{a^4bk}{4\theta}dt=\frac{d\omega}{\omega^2}\]$

alakba, ezt integrálva $\setbox0\hbox{$\tilde t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tól $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ig kapjuk a következőt:

$\[\frac{a^4bkt}{4\theta}=\left[-\frac1{\tilde{\omega}^2}\right]_{\omega_0}^{\omega}=\frac1\omega_0-\frac1\omega,\]$

ebből

$\[\frac1\omega=\frac1\omega_0-\frac{a^4bkt}{4\theta}\]$

végül

$\[\omega(t)=\frac1{\frac1\omega_0-\frac{a^4bkt}{4\theta}}=\frac{\omega_0}{1-\frac{a^4\omega_0bkt}{4\theta}}\]$

Mivel láthatóan $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értéke tetszőleges $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-hoz képest, $\setbox0\hbox{$b<<a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$absztrakcióval belátható, hogy a lap tehetetlenségé nyomatéka megegyezik egy $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, végpontja körül forgatott rúdéval, tehát $\setbox0\hbox{$\theta=\frac13ma^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A fenti megoldásban a közegellenállás fékező hatását az biztosítja, ha $\setbox0\hbox{$k<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ekkor a nevező mindig pozitív, és $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az idő függvényében csökken $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ról indulva. $\setbox0\hbox{$\omega(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényből a szöggyorsulás időfüggése (amely mindvégig negatív) további idő szerinti deriválással megkapható. Az eredő erő

$\[F=bk\omega^2a^3/3\]$

és a támadáspont

$\[R=\frac MF=\frac3 4 a\]$