Mechanika - Súrlódó tárcsák

Feladat

1. (*3.2.16.) Egymással párhuzamosan elhelyezkedő tengely körül foroghat egy $\setbox0\hbox{$m_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és egy $\setbox0\hbox{$m_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű tárcsa, melyek sugarai rendre $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú tárcsát $\setbox0\hbox{$\omega _0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel megforgatjuk, majd az álló $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú tárcsához nyomjuk $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erővel. A tárcsák érintkező felületei között a súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

1. a) Mennyi idő alatt érik el az együttforgás állapotát, és mekkora szögsebességgel forognak ekkor?

   b) Milyen értékűvé válik ez idő alatt a rendszer kinetikus energiája?

   c) Ellenőrizze az eredő impulzusmomentum megmaradását! Mi a megmaradás feltétele?

   d) Milyen súrlódási tényező lenne energiatakarékosság szempontjából gazdaságos?

Megoldás

Mivel csúszási súrlódási erő hat, ennek nagysága ismert $\setbox0\hbox{$F_s=\mu F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és a két tárcsa közötti kölcsönhatást erőpárban valósítja meg a III. axióma szerint. Ezen erők nyomatéka a tárcsákon mindaddig hat, amíg az együttforgás be nem áll, azaz a tárcsák kerületi sebessége azonos nem lesz. Ekkor a csúszás megszűnik, és az együttforgás nulla tapadási súrlódási erővel fenntartható. A mozgásegyenletek:

$\[\theta_1\beta_1=-F_sR_1\]$

illetve

$\[\theta_2\beta_2=+F_sR_2,\]$

így a szöggyorsulások $\setbox0\hbox{$\beta_1=-\frac{2 \mu F}{m_1R_1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\beta_2=\frac{2 \mu F}{m_2R_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezzel a kerületi sebességek

$\[v_1(t)=R_1 (\omega_0+\beta_1t)\]$

és

$\[v_2(t)=R_2 (\beta_2t),\]$

melyek egyenlővé téve megadják a közös forgás létrejöttének idejét

$\[t=\frac{\omega_0R_1m_1m_2}{2\mu F(m_1+m_2)}\]$

Ezt visszahelyettesítve kapjuk a szögsebességeket ebben az állapotban: $\setbox0\hbox{$\omega_1=\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\omega_2=\omega_0\frac{R_1}{R_2}\frac{m_1}{m_1+m_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Érdemes megjegyezni, hogy bár a beállás ideje függ a súrlódási együtthatótól, a végállapot maga nem, tehát energetikailag a súrlódási együttható értéke ($\setbox0\hbox{$\mu=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t kivéve) közömbös! A mozgási energia:

$\[E=\frac14\omega_0R_1\frac{m_1}{m_1+m_2}(m_1R_1+m_2R_2),\]$

az impulzusmomentum pedig

$\[L=\frac12\omega_0\frac{m_1}{m_1+m_2}(m_1R_1^2+m_2R_1R_2),\]$

amely nem egyezik a kezdeti

$\[L_0=\frac12m_1R_1^2\omega_0\]$

értékkel. Az impulzusmomentum megváltozását képezhetjük e kettő különbségéből, vagy a $\setbox0\hbox{$\Delta L=\dot Lt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggéssel felhasználva, hogy

$\[\dot L=M_1+M_2=F_s(R_2-R_1),\]$

így

$\[\Delta L=\frac12\frac{m_1m_2\omega_0(R_2R_1-R_1^2)}{m_1+m_2}\]$

Látható, hogy az impulzusmomentum csak akkor marad meg, ha a tárcsák sugara azonos, így a belső (ez esetben súrlódási) erők eredő nyomatéka is nulla.