Mechanika - Forgó lemez közegellenállással
A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Gombkoto (vitalap | szerkesztései) 2012. november 8., 16:44-kor történt szerkesztése után volt.
Feladat
- (**3.2.10.) Egy
és
oldalhosszúságú
tömegű téglalap alakú lemez függőlegesen elhelyezkedő
oldala mentén levő tengely körül forog. A
időpontban szögsebessége
. A lemez felületére a közegellenállás folytán erő hat, mely a mozgását akadályozza. Egy felületelemre ható erő arányos a felületelem sebességének négyzetével és a felületelem nagyságával, az arányossági tényező
.
- a) Mekkora a
-ik időpillanatban a tengelytől
távolságban elhelyezkedő
felületelemre ható, közegellenállásból származó erő?
- b) Mekkora a lemezre ható nyomaték nagysága?
- c) Hogyan változik a lemez szöggyorsulása és szögsebessége az idő függvényében?
- d) Mekkora és hol van a támadáspontja az eredő közegellenállási erőnek?
- a) Mekkora a
Megoldás
Az elemi felületre ható közegellenállási erő nagysága![\[\text{d}F=kv^2(t)\text{d}A=kr^2\omega^2(t)\text{d}A\]](/images/math/5/b/5/5b51a2bc13463c18706e570498ddfc63.png)
![\setbox0\hbox{$\text{d}A=\text{d}r\text{d}z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/8/8/9/889b179c9b4dd017212ba82ccd709795.png)
![\[\text{d}M=\text{d}F\cdot r,\]](/images/math/d/5/4/d54cc02b28f3a05001a2179c5a0b12c6.png)
![\[M=\int\int \text{d}M=\int_0^b\int_0^a rkr^2\omega^2\text{d}r\text{d}z=bk\omega^2\int_0^a r^3\rm{d}r=bk\omega^2(t)\frac{a^4}4\]](/images/math/9/c/0/9c0caac20c39b404a827ce44017c40f0.png)
![\[bk\frac{a^4}4\omega^2(t)=\theta\beta(t)=\theta\frac{d\omega(t)}{dt},\]](/images/math/0/a/2/0a2dd780dec13aca10529af8b794fa2a.png)
![\[\frac{a^4bk}{4\theta}dt=\frac{d\omega}{\omega^2}\]](/images/math/c/c/b/ccb7a14cb8eca9b05cc2c397be11c511.png)
![\setbox0\hbox{$\tilde t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/5/c/3/5c34e1ad71c3638fe4d54c3965ec6465.png)
![\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/5/7/4/5746952a5a8886f9d3a0284d4fae0283.png)
![\[\frac{a^4bkt}{4\theta}=\left[-\frac1{\tilde{\omega}^2}\right]_{\omega_0}^{\omega}=\frac1\omega_0-\frac1\omega,\]](/images/math/f/6/7/f67929e4796ebd042a126847b7e8b9da.png)
![\[\frac1\omega=\frac1\omega_0-\frac{a^4bkt}{4\theta}\]](/images/math/9/2/8/9280709774e1c41d2c36f89d80d7d602.png)
![\[\omega(t)=\frac1{\frac1\omega_0-\frac{a^4bkt}{4\theta}}=\frac{\omega_0}{1-\frac{a^4\omega_0bkt}{4\theta}}\]](/images/math/d/8/4/d845ae80b14a00c97bf0887d0adeb759.png)
![\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/3/2/e32154767ed5882f22a4c907c1570645.png)
![\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/8/6/4/864873f3aa69af4630109a23ec58b887.png)
![\setbox0\hbox{$b<<a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/0/4/b04f6a8e268ed700f02e376167cda8bf.png)
![\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/8/6/4/864873f3aa69af4630109a23ec58b887.png)
![\setbox0\hbox{$\theta=\frac13ma^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/3/2/1/32142cd960889f8dc89f536d203ff1fb.png)
![\setbox0\hbox{$k<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/f/1/f/f1f21e7eabdc38b65c94cacbfac3f6c4.png)
![\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/b/0/8/b0846178f5f6c7380d8c80725e5869f7.png)
![\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/0/e/9/0e94dc2a9d68ad68a58ad62043bbc15e.png)
![\setbox0\hbox{$\omega(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/7/0/4/70458683d674b2c7026310b2f4a77665.png)
![\[F=bk\omega^2a^3/3\]](/images/math/a/9/7/a97afbfbe81ef8baabe4f30dfede92f8.png)
![\[R=\frac MF=\frac3 4 a\]](/images/math/0/f/e/0feb06faba1b88343a46997f70126d98.png)