Pontrendszerek - 3.1.2

Feladat

1. Egy súrlódásmentes álló csigán átvetett fonálon egy $\setbox0\hbox{$m_{1}=90 \,\mathrm{g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és egy $\setbox0\hbox{$m_{2}=110\,\mathrm{g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test függ. A nehezebb test a földfelszín felett $\setbox0\hbox{$H=2\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re van. Magára hagyva a rendszert, mennyi idő alatt ér le a nagyobb tömegű test a talajra? Feltesszük, hogy a fonál elegendően hosszú. A csiga és a fonál tömegét elhanyagolhatjuk.

Megoldás

1. Mindkét testre hat egy gravitációs erő és egy kötélerő. A két kötélerő megegyezik, mert a kötél nyújthatatlan és tömege elhanyagolható, a csiga tömege szintén elhanyagolható. A két test gyorsulásának nagysága is megegyezik, mert a kötél hossza a mozgás során nem változik. A gyorsulások iránya viszont különböző.

   $\[m_{1}a=K-m_{1}g\]$

   $\[m_{2}a=m_{2}g-K\]$

   A két egyenletből

   $\[a=\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{2}+m_{1}}g\]$

   a testek gyorsulása. A $\setbox0\hbox{$H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasság megtételéhez szükséges idő

   $\[T=\sqrt{\frac{2H}{a}}=\sqrt{\frac{2H}{g}\frac{m_{2}+m_{1}}{m_{2}-m_{1}}}=2\,\mathrm{s}\]$