Pontrendszerek - 3.1.13

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$M=70\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű ember kezében $\setbox0\hbox{$m=10\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű teherrel a vízszintessel $\setbox0\hbox{$45^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os szöget bezáró irányban $\setbox0\hbox{$v_{0}=7\,\mathrm{m/s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kezdősebességgel felugrik. Pályája tetőpontján a terhet vízszintes $\setbox0\hbox{$u=8\,\mathrm{m/s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ relatív sebességgel hátrafelé hajítja. Mennyivel nagyobb távolságra ugrik ily módon?

Megoldás

1. A felugráskor az ember sebességének vízszintes és függőleges komponense

   $\[v_{x}=v_{0}\cos\alpha\qquad\qquad v_{y}=v_{0}\sin\alpha\]$

   Ha nem dobja el a terhet az ugrás során, akkor

   $\[s=2v_{x}\frac{v_{y}}{g}\]$

   távolságig ugrik. Ha a terhet a pályája legfelső pontján eldobja, akkor az eldobás után a sebessége $\setbox0\hbox{$v_{x}'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lesz, melyet az impulzus megmaradás segítségével számíthatunk ki, hiszen nem hatnak vízszintes irányú külső erők az eldobás pillanatában.

   $\[(m+M)v_{x}=Mv_{x}'-m(u-v_{x})\qquad\Rightarrow\qquad v_{x}'=\frac{mu+M v_{x}}{M}\]$

   Ebben az esetben

   $\[s'=(v_{x}+v_{x}')\frac{v_{y}}{g}\]$

   távolságig ugrik. A két távolság különbsége

   $\[\Delta s=s'-s=\frac{muv_{0}\sin\alpha}{Mg}=0,566\,\mathrm{m}\,.\]$