Szerkesztő:Elektrosztatika példák - Különböző vezetőképességű anyagok határfelületén az átfolyó áram hatására kialakuló felületi töltéssűrűség.
A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Beleznai (vitalap | szerkesztései) 2013. szeptember 27., 14:36-kor történt szerkesztése után volt.
Feladat
- Egy síkkondenzátor fegyverzetek közötti terét két vezető lemezzel töltjük ki. A lemezek egymással és a kondenzátor lemezeivel teljes felületükön érintkeznek. A lemezek vastagsága
és
, vezetőképességük és dielektromos állandójuk
,
, illetve
. A kondenzátorlemezek (melyek
-nél és
-nél jóval nagyobb vezetőképességű anyagból készültek) között a potenciál adott:
. Határozzuk meg az elektromos tér, valamint az elektromos eltolás nagyságát! Határozzuk meg az áramsűrűség nagyságát a közegekben, továbbá a szabad töltések eloszlását.
Megoldás
A kontinuitási tétel miatt:
![\[j_1 = j_2 = j\]](/images/math/9/9/b/99bcf214f7711c8a889515db78711714.png)
Mindkét közegben érvényes a differenciális Ohm-törvény:
![\[E_1 = \frac{j}{\sigma_1}\]](/images/math/3/d/2/3d2cd921d089f5fcf3930390011d0b92.png)
![\[E_2 = \frac{j}{\sigma_2}\]](/images/math/7/4/3/7435c382efe8e8a739a0d8a606b7e411.png)
A lemezek közötti potenciálkülönbség pedig:
![\[\Delta \Phi = E_1 h_1 +E_2 h_2\]](/images/math/b/3/8/b38b1f13e388a1c42291ede37831e255.png)
Ezt összevetve a térerősségekre kapott összefüggésekkel adódik, hogy
![\[j = \frac{\Delta \Phi \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}\]](/images/math/3/c/6/3c6d9821e9fb962e9581d28e5d65bb2a.png)
Innen a térerősségek:
![\[E_1 = \frac{\Delta \Phi \sigma_2}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}\]](/images/math/8/e/5/8e5ac5496d83dc38f0341b96adc70b1e.png)
![\[E_2 = \frac{\Delta \Phi \sigma_1}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}\]](/images/math/f/d/5/fd5a4fdd1e7aeced116744d424fabd5f.png)
Az elektromos eltolások pedig a két közegben:
![\[D_1 = \epsilon_0 \epsilon_1 E_1 = \frac{\Delta \Phi \sigma_2 \epsilon_0\epsilon_1}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}\]](/images/math/b/6/4/b6403cc33377fd62fdfc97801f5d9619.png)
![\[D_2 = \epsilon_0 \epsilon_2 E_2 = \frac{\Delta \Phi \sigma_1 \epsilon_0\epsilon_2}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2}\]](/images/math/6/a/2/6a262be7d3389a64d0cceb925f77c461.png)
A felületen felhalmozódott töltést pedig a Gauss-tételből lehet kiszámolni:
![\[D_2 A-D_1 A =\omega A \rightarrow \omega = D_2-D_1 = \frac{\Delta \Phi \epsilon_0\cdot \left(\epsilon_2\sigma_1-\epsilon_1\sigma_2\right)}{\sigma_2 h_1+\sigma_1 h_2} \]](/images/math/9/0/8/90852655746dc4e95ffb0b5dd8852671.png)