Pontrendszerek - 3.1.6

Feladat

1. (3.1.6) Egy $\setbox0\hbox{$\alpha=30^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hajlásszögű lejtőre helyezett $\setbox0\hbox{$m_{1}=3\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testhez a lejtő tetején megerősített csigán átvetett fonállal $\setbox0\hbox{$m_{2}=1\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet kötünk. (3.1.6. ábra) Határozzuk meg a rendszer gyorsulását, valamint a fonalat feszítő erőt! Mekkora sebességet ér el a $\setbox0\hbox{$h=0,2\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságú lejtő tetejéről kezdősebesség nélkül induló test a lejtő alján? A csiga és a fonál tömegétől, valamint a súrlódástól eltekintünk.
   

Megoldás

1. Az $\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testre a lejtővel párhuzamosan egy $\setbox0\hbox{$m_{1}g\sin\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erő és a $\setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kötélerő hat. Az $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testre függőleges irányban hat a gravitációs erő és egy a fonál nyújthatatlansága miatt ugyanolyan $\setbox0\hbox{$K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú kötélerő. A két test gyorsulása azonos nagyságú. A mozgásegyenletek

   $\[m_{1}a=m_{1}g\sin\alpha-K\]$

   $\[m_{2}a=K-m_{2}g\]$

   Az egyenlet rendszer alapján

   $\[a=\frac{m_{1}\sin\alpha-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}g=1,25\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\qquad\qquad K=11,25\,\mathrm{N}\,.\]$

   A $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságű lejtőről leérve a test helyzeti energiája mozgási energiává alakul.

   $\[m_{1}gh=\frac{1}{2}m_{1}v^{2}\qquad\Rightarrow\qquad v=\sqrt{2gh}=2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\]$