Mechanika - Pontrendszerek

Feladatok

1. (3.1.2) Egy súrlódásmentes álló csigán átvetett fonálon egy $\setbox0\hbox{$m_{1}=90 \,\mathrm{g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és egy $\setbox0\hbox{$m_{2}=110\,\mathrm{g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test függ. A nehezebb test a földfelszín felett $\setbox0\hbox{$H=2\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re van. Magára hagyva a rendszert, mennyi idő alatt ér le a nagyobb tömegű test a talajra? Feltesszük, hogy a fonál elegendően hosszú. A csiga és a fonál tömegét elhanyagolhatjuk.
   Útmutatás

   Írjuk fel a testekre és a csigára vonatkozó mozgásegyenleteket!
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$T=2\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
2. (*3.1.3) Egy mozgó csigára egy $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet függesztünk. A mozgó csigát tartó fonál egyik végét állványhoz erősítjük, másik végét álló csigán átvezetve $\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömeghez kötjük. Határozzuk meg az $\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ill. $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegek gyorsulását! A csigák és a fonál tömegétől, valamint a súrlódástól eltekintünk.
   
   Útmutatás

   Írjuk fel a testekre és a csigákra vonatkozó mozgásegyenleteket!
   Végeredmény

   $\[a=\frac{4m_{1}-2m_{2}}{4m_{1}+m_{2}}g\]$
   Megoldás
   
   
3. (3.1.6) Egy $\setbox0\hbox{$\alpha=30^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hajlásszögű lejtőre helyezett $\setbox0\hbox{$m_{1}=3\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testhez a lejtő tetején megerősített csigán átvetett fonállal $\setbox0\hbox{$m_{2}=1\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet kötünk. (3.1.6. ábra) Határozzuk meg a rendszer gyorsulását, valamint a fonalat feszítő erőt! Mekkora sebességet ér el a $\setbox0\hbox{$h=0,2\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságú lejtő tetejéről kezdősebesség nélkül induló test a lejtő alján? A csiga és a fonál tömegétől, valamint a súrlódástól eltekintünk.
   
   Útmutatás

   Írjuk fel a testekre és a csigára vonatkozó mozgásegyenleteket!
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$a=1,25\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\qquad K=11,25\,\mathrm{N}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   $\setbox0\hbox{$v=1\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
4. (3.1.7) Kétoldalú lejtő felső pontjában rögzített csigán átvetett fonál egyik végéhez kötött $\setbox0\hbox{$m_{1}=2\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test az $\setbox0\hbox{$\alpha=30^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, másik végéhez kötött $\setbox0\hbox{$m_{2}=1\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test a $\setbox0\hbox{$\beta=45^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hajlásszögű lejtőn fekszik. Határozzuk meg a gyorsulást és a fonalat feszítő erőt, ha a súrlódástól és a csiga tömegétől eltekintünk!
   
   Útmutatás

   Írjuk fel a testekre és a csigára vonatkozó mozgásegyenleteket!
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$a=0,976\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\qquad\qquad K=8,05\,\mathrm{N}\,.$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
5. (*3.1.9) Vízszintes talajon $\setbox0\hbox{$m_{1}=40\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű láda fekszik, a súrlódási együttható $\setbox0\hbox{$\mu=0,2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test képes a ládát megmozdítani az ábrán látható elrendezésben? Mekkora pillanatnyi gyorsulással indulna el ilyen $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömeg hatására a láda egy súrlódásmentes vízszintes síkon? A csiga tömegét és súrlódását a számításokban elhanyagolhatjuk. ($\setbox0\hbox{$\alpha=30^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)
   
   Útmutatás

   A tapadás feltétele, hogy a tapadási súrlódási erő felső korlátját $\setbox0\hbox{$T\leq \mu N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szerint adhatjuk meg.
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$m_{2}> 8,28\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   $\setbox0\hbox{$a=1,52\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
6. (3.1.11) Az $\setbox0\hbox{$m_{A}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és az $\setbox0\hbox{$m_{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szabad anyagi pontok Newton törvénye szerint kölcsönösen vonzzák egymást. A kezdő időpontban az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont sebessége $\setbox0\hbox{$v_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re merőleges, $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont sebessége $\setbox0\hbox{$v_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú és $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tól elfelé mutat. Határozzuk meg a pontok súlypontjának pályáját és sebességét!
   Útmutatás

   Számold ki a tömegközéppont sebességét a kezdeti időpillanatban!
   Végeredmény

   $\[\mathbf{v}_{TKP}=\frac{1}{m_{A}+m_{B}}\left[\begin{array}{c} m_{A}v_{1} \\ m_{B}v_{2}\end{array}\right]\]$
   Megoldás
   
   
7. (3.1.12) Egy $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű, a vízhez képest nyugvó csónak egyik végén $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű ember áll, majd átmegy a csónak másik végébe. Elhanyagolva a víz ellenállását számítsuk ki, hogy mennyit mozdul el ezalatt a csónak!
   Útmutatás

   Gondold végig, hogy milyen külső erők hatnak a rendszerre!
   Végeredmény

   $\[x=\frac{m}{m+M}l\]$
   Megoldás
   
   
8. (3.1.13) Egy $\setbox0\hbox{$M=70\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű ember kezében $\setbox0\hbox{$m=10\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű teherrel a vízszintessel $\setbox0\hbox{$45^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os szöget bezáró irányban $\setbox0\hbox{$v_{0}=7\,\mathrm{m/s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kezdősebességgel felugrik. Pályája tetőpontján a terhet vízszintes $\setbox0\hbox{$u=8\,\mathrm{m/s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ relatív sebességgel hátrafelé hajítja. Mennyivel nagyobb távolságra ugrik ily módon?
   Útmutatás

   Az eldobás leírásához érdemes figyelembe venni az impulzus megmaradást!
   Végeredmény

   $\setbox0\hbox{$\Delta s=0,566\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
   Megoldás
   
   
9. (*3.1.14) Egy súrlódásmentes asztalon $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hajlásszögű, $\setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű lejtő van, amelynek alapja $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszú. A lejtő tetején egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test van. Mekkora távolságra mozdul el a lejtő azalatt míg a test a lejtő aljára csúszik le?
   Útmutatás

   Gondold végig, hogy milyen (irányú) külső erők hatnak a rendszerre!
   Végeredmény

   $\[d=\frac{m}{m+M}l\]$
   Megoldás
   
   
10. (3.1.16) Valamely $\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test rugalmatlanul ütközik egy $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testtel. Határozzuk meg hányadrésze vész el a kinetikus energiának, ha az $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű test az ütközés előtt nyugalomban volt!
    Útmutatás

    Tökéletesen rugalmatlan ütközés esetén is érvényes az impulzus megmaradás és a későbbi sebességek azonosak lesznek. Vigyázat! A teljes mozgási energia NEM marad meg az ütközés során!
    Végeredmény

    $\[\frac{E_{kin,0}-E_{kin}}{E_{kin,0}}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\]$
    Megoldás
    
    
11. (3.1.18) Két rugalmas golyó ugyanakkora $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú sebességgel halad egymás felé vízszintes egyenesen. Tökéletesen rugalmas ütközés után az egyik golyó nyugalomban marad. Mekkora lesz a másik golyó ütközés előtti és utáni $\setbox0\hbox{$v'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességeinek aránya? Mekkora a golyók tömegeinek aránya?
    Végeredmény

    $\[m_{1}=3m_{2}\qquad\qquad \frac{v'}{v}=2\,.\]$
    Megoldás
    
    
12. (3.1.21) Egy összenyomott rugó hirtelen szétlök két henger alakú tömeget egymással ellentétes irányban. A tömegek nagysága $\setbox0\hbox{$m_{1}=0,12\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$m_{2}=0,3 \,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora sebességgel haladnak ezek a vázolt csőben, ha az összenyomott rugó helyzeti energiája $\setbox0\hbox{$E_{r}=4,9\,\mathrm{J}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ volt? Hogyan módosul az eredmény, ha az $\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vagy az $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet a csőben rögzítjük?
    
    Útmutatás

    A folyamat során a rugalmas energia mozgaási energiává alakul.
    Végeredmény

    $\[v_{1}=12,78\,\mathrm{\frac{m}{s}} \qquad\qquad v_{2}=5,11\,\mathrm{\frac{m}{s}}\]$

    $\[v_{1}'=9,04\,\mathrm{\frac{m}{s}}\]$

    $\[v_{2}'=5,76\,\mathrm{\frac{m}{s}}\]$
    Megoldás
    
    
13. (*3.1.23) Egy fonal egyik végét a mennyezethez erősítjük, másik végére $\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet akasztunk, ehhez egy rugót kötünk, majd a rugóra egy $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet. Kezdetben a rendszer nyugalomban van. Ekkor elégetjük a fonalat. Mekkora lesz a testek gyorsulása a következő pillanatban?
    
    Végeredmény

    $\[a_{1}=g\left(1+\frac{m_{2}}{m_{1}}\right)\qquad\qquad a_{2}=0\]$
    Megoldás
    
    
14. (*3.1.26) A rakétát a hajtóműből folytonosan kiáramló gáz gyorsítja. Mennyivel változik az eredetileg $\setbox0\hbox{$m_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű rakéta sebessége, ha a rakétából a rakétához viszonyítva állandó $\setbox0\hbox{$u$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel $\setbox0\hbox{$\alpha m_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű gáz áramlott ki, ahol $\setbox0\hbox{$0<\alpha<1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$? (A rakétára külső erő nem hat és az $\setbox0\hbox{$u$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebesség a rakéta sebességével ellentétes irányú, de azzal egy egyenesbe esik.)
    Útmutatás

    Vizsgálja egy általános időpillanatban egy $\setbox0\hbox{$dm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ infinitezimális tömegű gázmennyiség kilökődését!
    Végeredmény

    $\[\Delta v_{\alpha}=-u\ln(1-\alpha)>0\]$
    Megoldás
    
    
15. (3.3.1) Lövedékek sebességének mérésére az ún. ballisztikus ingát használják. A homokkal töltött $\setbox0\hbox{$M=100\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű inga $\setbox0\hbox{$m=0,2\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os lövedék becsapódása után $\setbox0\hbox{$10^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-kal kilendül. Mekkora a lövedék sebessége? Az inga súlypontjának a felfüggesztési ponttól való távolsága $\setbox0\hbox{$l=2\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
    Útmutatás

    Tökéletesen rugalmatlan ütközés.
    Végeredmény

    $\setbox0\hbox{$v=1560 \,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
    Megoldás