Mechanika - Jósági tényező

Feladat

1. (**6.36.) Valamely csillapított, kényszerrezgést végző rendszer jósági tényezőjét a következőképpen definiáljuk:
   $\[Q=2\pi\frac{\text{a rendszer által tárolt energia}}{\text{egy periódus alatt disszipált energia}}\]$
   Határozza meg a $\setbox0\hbox{$Q(\omega)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt!

Megoldás

A rendszer által tárolt energia a kialakuló harmonikus rezgés energiája, amit az állandósult állapot állandó amplitúdója miatt könnyedén felírhatnánk az

$\[E=\frac12DA(\omega)^2\]$

kifejezéssel (amely időfüggetlen), azonban ez átalában nem alkalmazható, mivel a rezgés nem a csillapítatlan sajátfrekvencián valósul meg, hanem a kényszerítetten. Fel kell írni külön a mozgási és a rugalmas helyzeti energia átlagát egy periódusra nézve, és ezek összegét venni. Legyen $\setbox0\hbox{$F(t)=mf_0\sin\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a gerjesztő erő. A kialakuló rezgés időfüggése $\setbox0\hbox{$x(t)=A(\omega)\sin(\omega t+\phi)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a sebességé pedig

$\[v(t)=\omega A(\omega)\cos(\omega t+\phi)=\omega A(\omega)(\cos\omega t\cos\phi-\sin\omega t\sin\phi).\]$

Ezekkel

$\[<E_m>=\frac12m<v^2(t)>=\frac12m\omega^2A(\omega)^2\frac12,\]$

mivel a koszinusz négyzet függvény (lásd az első függvényalakot) átlagértéke $\setbox0\hbox{$\frac12$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Hasonlóan

$\[<E_r>=\frac12D<x^2(t)>=\frac12m\omega_0^2A(\omega)^2\frac12.\]$

Látható, hogy a kettő csak $\setbox0\hbox{$\omega=\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gerjesztési frekvenciánál egyenlő! A tárolt energia tehát:

$\[E=\frac{\frac14mf_0^2(\omega_0^2+\omega^2)}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}\]$

A rendszer által disszipált energia nem más, mint amit a gerjesztő erő betáplál egy $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ periódus alatt, azaz

$\[\Delta E=\int_0^TF(t)v(t)\rm dt\]$

Ez az integrál $\setbox0\hbox{$v(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fenti második alakja miatt két tagból fog állni, és az időfüggetlen konstansokat kiemelve lényegében kétféle integrált kell meghatározni. Ebből az egyik:

$\[\int_0^T\sin\omega t\cos\omega t\rm dt=0,\]$

mivel ez egy $\setbox0\hbox{$2\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájú szinuszfüggvény alatti előjeles területet jelent, ami két teljes $\setbox0\hbox{$T/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ periódusára számolva éppen nulla. Marad tehát (a negatív előjeltől eltekintve)

$\[\Delta E=mf_0\omega A(\omega)\sin\phi\int_0^T\sin^2\omega t\rm dt,\]$

melyben az integrál $\setbox0\hbox{$\frac12 T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz az átlagérték és az integrálási tartomány szorzata. A fázistolás szinusza $\setbox0\hbox{$\sin\phi=\frac{2\beta\omega}{\sqrt{...}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, mely gyök az amplitúdó $\setbox0\hbox{$A(\omega)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kifejezésében is látható. Összességében tehát

$\[\Delta E=mf_0\omega\frac{f_0}{\sqrt{...}}\frac T2\frac{2\beta\omega}{\sqrt{...}}=\frac{mf_0^2\omega^2T\beta}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}\]$

Ennek nevezője azonos a tárolt energia kifejezésében láthatóéval, tehát a jósági tényezőben csak a számlálók hányadosa jelenik meg:

$\[Q(\omega)=2\pi\frac{\frac14mf_0^2(\omega_0^2+\omega^2))}{mf_0^2\omega^2T\beta}=\frac{\omega_0^2+\omega^2}{4\omega\beta},\]$

amely $\setbox0\hbox{$\omega\approx\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gerjesztés esetén

$\[Q\approx\frac{\omega_0}{2\beta}=\frac{\omega_0}{\Delta\omega_{1/2}}\]$

a félértékszélességel kifejezve.Tehát a jósági tényező a sebességrezonancia közelében kb. állandó rendszerparaméter, és kis csillapítás esetén az amplitúdó rezonancia is a közelében van.