Pontrendszerek - 3.1.11

Feladat

1. (3.1.11) Az $\setbox0\hbox{$m_{A}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és az $\setbox0\hbox{$m_{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szabad anyagi pontok Newton törvénye szerint kölcsönösen vonzzák egymást. A kezdő időpontban az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont sebessége $\setbox0\hbox{$v_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re merőleges, $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont sebessége $\setbox0\hbox{$v_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányú és $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tól elfelé mutat. Határozzuk meg a pontok súlypontjának pályáját és sebességét!

Megoldás

1. Vegyük fel a kétdimenziós vonatkoztatási rendszert úgy, hogy az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont az origóban van és a $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-tengely pozitív felére illeszkedik. Ekkor a pontok sebessége a kezdeti időpillanatban

   $\[\mathbf{v}_{A}=\left[\begin{array}{c} v_{1} \\ 0\end{array}\right]\qquad\qquad \mathbf{v}_{B}=\left[\begin{array}{c} 0 \\ v_{2}\end{array}\right]\,,\]$

   a tömegközéppont sebessége pedig

   $\[\mathbf{v}_{TKP}=\frac{m_{A}\mathbf{v}_{A}+m_{B}\mathbf{v}_{B}}{m_{A}+m_{B}}=\frac{1}{m_{A}+m_{B}}\left[\begin{array}{c} m_{A}v_{1} \\ m_{B}v_{2}\end{array}\right]\,.\]$

   A két tömegpont alkotta pontrendszerre külső erők nem hatnak a mozgásuk során, ezért a teljes impulzus időben állandó. A teljes tömeg nem változik, azért ez egyúttal azt is jelenti, hogy a tömegközéppont sebessége is állandó. Tehát a fenti eredmény megadja a tömegközéppont sebességét a mozgás teljes idő tartama alatt.