Pontrendszerek - 3.1.21

Feladat

1. (3.1.21) Egy összenyomott rugó hirtelen szétlök két henger alakú tömeget egymással ellentétes irányban. A tömegek nagysága $\setbox0\hbox{$m_{1}=0,12\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$m_{2}=0,3 \,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora sebességgel haladnak ezek a vázolt csőben, ha az összenyomott rugó helyzeti energiája $\setbox0\hbox{$E_{r}=4,9\,\mathrm{J}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ volt? Hogyan módosul az eredmény, ha az $\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vagy az $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet a csőben rögzítjük?

Megoldás

1. A szétlökés során nem hat külső erő a két test alkotta pontrendszerre, ezért

   $\[m_{1}v_{1}=m_{2}v_{2}\,.\]$

   A szétlökés utáni teljes kinetikus energia megegyezik a szétlökés előtt rugóban tárolt energiával, ha a súrlódás elhanyagolható.

   $\[E_{r}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}\]$

   A két egyenletből

   $\[v_{1}=\sqrt{\frac{2E_{r}m_{2}}{m_{1}(m_{1}+m_{2})}}=12,78\,\mathrm{\frac{m}{s}} \qquad\qquad v_{2}=\sqrt{\frac{2E_{r}m_{1}}{m_{2}(m_{1}+m_{2})}}=5,11\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\]$

   Ha az egyik test rögzítve van, akkor a rögzítésnél már éri külső erő a rendszert, így az impulzus megmaradás a továbbiakban már nem érvényes. Így a rugóban tárolt energia átalakul valamelyik test teljes mozgási energiájává. Ha az $\setbox0\hbox{$m_{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet rögzítjük, akkor a másik test sebessége

   $\[v_{1}'=\sqrt{\frac{2E_{r}}{m_{1}}}=9,04\,\mathrm{\frac{m}{s}}\]$

   a szétlökés után. Ha az $\setbox0\hbox{$m_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű testet rögzítjük, akkor a másik test sebessége

   $\[v_{2}'=\sqrt{\frac{2E_{r}}{m_{2}}}=5,76\,\mathrm{\frac{m}{s}}\]$

   a szétlökés után.