Pontrendszerek - 3.1.26

Feladat

1. (*3.1.26) A rakétát a hajtóműből folytonosan kiáramló gáz gyorsítja. Mennyivel változik az eredetileg $\setbox0\hbox{$m_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű rakéta sebessége, ha a rakétából a rakétához viszonyítva állandó $\setbox0\hbox{$u$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel $\setbox0\hbox{$\alpha m_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű gáz áramlott ki, ahol $\setbox0\hbox{$0<\alpha<1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$? (A rakétára külső erő nem hat és az $\setbox0\hbox{$u$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebesség a rakéta sebességével ellentétes irányú, de azzal egy egyenesbe esik.)

Megoldás

1. A gáz kiáramlását jellemezze a konstans $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kiáramlási sebesség. Egy nagyon rövid $\setbox0\hbox{$dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időtartam alatt így $\setbox0\hbox{$dm=\lambda dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű gáz áramlik ki. Ezen idő alatt tekinthetünk úgy a problémára, mintha a rakéta két részre szakadna. A szétszakadás előtt a teljes tömeg $\setbox0\hbox{$m(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, utána a kilökött gázé $\setbox0\hbox{$dm=\lambda dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a rakétáé pedig $\setbox0\hbox{$m(t+dt)=m(t)-\lambda dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A rakéta sebessége a szétszakadás előtt $\setbox0\hbox{$v(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, utána a kilökött gázé $\setbox0\hbox{$v(t)-u$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a rakétáé $\setbox0\hbox{$v(t+dt)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az impulzus megmaradás az alábbiak szerint írható fel.

   $\[m(t)v(t)=(m(t)-\lambda dt)v(t+dt)+\lambda dt(v(t)-u)\]$

   Infinitezimális folyamatokat írunk le, ezért $\setbox0\hbox{$dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyon kicsi. Így mindkét oldalon csak $\setbox0\hbox{$dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ben elsőrendű tagokat tartjuk meg.

   $\[m(t)v(t)=m(t)v(t+dt)-\lambda dt u\]$

   Az elhanyagolt tag $\setbox0\hbox{$\sim (v(t+dt)-v(t))dt=a(t) dt^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságrendű. Az így kapott egyenletet leosztva $\setbox0\hbox{$dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel megjelenik a sebesség idő szerinti deriváltja.

   $\[m(t)\frac{dv}{dt}=\lambda u\,,\]$

   ahol $\setbox0\hbox{$m(t)=m_{0}-\lambda t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

   $\[\frac{dv}{dt}=\frac{\lambda u}{m_{0}-\lambda t}\qquad\Rightarrow\qquad v(t)=v(0)+\int_{0}^{t}\frac{\lambda u}{m_{0}-\lambda t'}dt'=v(0)+u\ln\frac{m_{0}}{m_{0}-\lambda t}\]$

   A $\setbox0\hbox{$t_{\alpha}=\alpha m_{0}/\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az az idő, amennyi alatt az $\setbox0\hbox{$\alpha m_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mennyiségű gáz kiáramlik. Ennyi idő alatt a sebesség változás

   $\[\Delta v_{\alpha}=v(t_{\alpha})-v(0)=-u\ln(1-\alpha)>0\,.\]$