Elektrosztatika példák - Vezető anyaggal töltött kondenzátor ellenállása

Feladat

1. Számítsuk ki az
   a) $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömblemezekből álló $\setbox0\hbox{$(a<b)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vezetőképességű közeggel kitöltött gömbkondenzátor; ill.
   b) az $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ élhosszúságú, $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, henger alakú lemezekből álló, $\setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vezetőképességű közeggel kitöltött hengerkondenzátor $\setbox0\hbox{$(L>>b)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállását!

Megoldás

a, Tegyük fel, hogy a kondenzátor lemezek közti feszültség időben állandó és így a fegyverzetek közt folyó áram stacionárius. A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. Azt feltételezzük, hogy a külső és belső gömbhéjakon töltések halmozódnak fel, amelyek létrehozzák az időben állandó potenciálkülönbséget. A Gauss tétel egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú koncentrikus gömbre:

$\[E\cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}\]$

$\[E = \frac{Q}{4\pi r^2 \epsilon_0}\]$

amiből a gömbök közötti potenciálkülönbség:

$\[U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\]$

A differenciális Ohm-törvény alapján a gömbben folyó áramsűrűség nagysága:

$\[j = \sigma\cdot E\]$

$\[j = \frac{\sigma Q}{4 \pi r^2 \epsilon_0}\]$

amely áramsűrűséget az $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gömbfelületen integrálva megkapjuk a gömbhéjak között folyó áramot:

$\[I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}\]$

Ebből az Ohm-törvény alapján a gömb ellenállása:

$\[R = \frac{U}{I} = \frac{1}{4 \pi\sigma}\cdot\frac{b-a}{ab}\]$

b, A Gauss-tétel stacionárius áramok esetén is igaz. Azt feltételezzük, hogy a külső és belső hengerfelületeken töltések halmozódnak fel, amelyek létrehozzák a potenciálkülönbséget. A Gauss-tétel egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú koncentrikus hengerre:

$\[E\cdot 2 \pi r L = \frac{Q}{\epsilon_0}\]$

$\[E = \frac{Q}{4\pi r L \epsilon_0}\]$

amiből a hengerek közötti potenciálkülönbség:

$\[U = \int_a ^b \vec{E}\cdot\vec{dr} = \frac{Q}{2\pi\epsilon_0 L}\cdot\ln\left(\frac{b}{a}\right)\]$

A differenciális Ohm-törvény alapján a hengerben folyó áramsűrűség:

$\[\vec{j} = \sigma\cdot\vec{E}\]$

$\[\vec{j} = \frac{\sigma Q}{2 \pi r L \epsilon_0}\]$

amely áramsűrűséget az $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hengerfelületen integrálva megkapjuk a hengerek között folyó áramot:

$\[I = \iint \vec{j}\cdot\vec{dA} = \frac{\sigma Q}{\epsilon_0}\]$

Ebből az Ohm-törvény alapján a henger ellenállása:

$\[R = \frac{U}{I} = \frac{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{2 \pi L\sigma}\]$