Elektrosztatika példák - Határfelületen kialakult töltéssűrűség

Feladat

1. $\setbox0\hbox{$\sigma_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\sigma_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vezetőképességű anyagok érintkező felületén normális irányú áramsűrűség folyik át. Határozzuk meg a felületi töltéssűrűséget!

Megoldás

Írjuk fel a kontinuitási egyenletet a közeghatárra:

$\[j_1\cdot A = j_2\cdot A \rightarrow j_1 = j_2 = j\]$

Tehát az áramsűrűség megegyezik mindkét közegben. Ha felírjuk a differenciális Ohm-törvényt mindkét közegben:

$\[j =\sigma_1\cdot E_1 \]$

$\[j =\sigma_2\cdot E_2 \]$

Amiből

$\[E_2 = \frac{\sigma_1}{\sigma_2}\cdot E_1\]$

A határfelületen felhalmozódott felületi töltéssűrűséget úgy kaphatjuk meg, ha felveszünk egy téglatest alakú zárt felületet, melynek két oldala párhuzamos a határfelülettel, továbbá a közeghatár $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ területű részét magába zárja. Erre felírjuk a Gauss-tételt:

$\[E_2 A-E_1 A = \frac{Q}{\epsilon_0} = \frac{\omega}{\epsilon_0}\cdot A \]$

Ebből a felületen felhalmozódott töltéssűrűség:

$\[\omega = \epsilon_0 j \cdot\left(\frac{1}{\sigma_2}-\frac{1}{\sigma_1}\right)\]$